Математична статистика - Руденко В. М. - Розрахунки та інтерпретація МЦТ і ММ

Розрахунки показників МЦТ і ММ можна здійснити в MS Excel трьома способами з використанням:

O математичних операцій за відповідних формул МЦТ і ММ;

O вбудованих статистичних функцій MS Excel;

O спеціального розділу "Описова статистика" пакету "Аналіз даних". Спосіб 1. Результати розрахунку МЦТ і ММ представлено на рис. 2.37,

Відповідні математичні вирази, формули і функції MS Excel - на рис. 2.38 .

Рис. 2.38. Математичні вирази для розрахунку МЦТ і ММ

Мода вибірки Мо=2 (значення 2 трапляється у вибірці 5 разів). Медіана дорівнює

Мй - ХП/2 + ХП/2+1 _ Х12/2 + Х12/2+1 _ Х6 + Х7 _ 2 + 2 _ 4 _ 2

~ 2 2 ~ 2 ~ 2 ~2~ .

Середнє арифметичне вибірки X = - v хІ = - 28 = 2,33.

П 12

Дисперсія вибірки У2 = ^(П'_1 ) = 1^ = ~ 1,52 .

Стандартне відхилення вибірки уХ =^[^ї = 1,52 "1,23. Асиметрія вибірки

Спосіб 2. Результати розрахунків показників описової статистики для чотирьох вибірок представлено на рис. 2.39, графіки розподілу - на рис. 2.402.43. Для розрахунків були використані такі статистичних функцій MS Excel:

Обсяг вибірки =СЧЕТ()

Дисперсія

=дисп()

Середнє =СРЗНАЧ()

Ст. відхилення

=СТАНДОТКЛОН()

Мода =МОДА()

Асиметрія

=СКОС()

Медіана =МЕДИАНА()

Ексцес

=ЭКСЦЕСС()

Рис. 2.39. Розрахунки розподілу, МЦТ і ММ за допомогою функцій табличного процесора MS Excel

Розподіли розраховано за допомогою функції =ЧАСТОТА() і представлено на рис 2.40-2.43.

Як видно, всі вибірки унімодальні, характеризуються приблизно однаковими МЦТ (див. комірки F25:J27). Розподіл вибірки f1(x) має нульову асиметрію (0,00), малий додатний ексцес (0,20) і серед чотирьох вибірок найбільш відповідає властивостям нормального розподілу (рис. 2.40).

Розподіл f2(x) характеризується незначною від'ємною асиметрією (-0,18) і суттєвим від'ємним ексцесом (-0,75) (рис. 2.41). Розподіл f3(x) "деформований" у лівий бік з асиметрією (0,70) і помірним додатним ексцесом (0,26) (рис. 2.42). Розподіл f4(x) має від'ємну асиметрію (-0,68) ще й додатний позитивний ексцес (0,64). У порівнянні зі "стандартом" він менш за все відповідає вимогам нормальності серед досліджуваних вибірок.

Спосіб 3. Отримати показники МЦТ і ММ вибірки за допомогою пакета "Аналіз даних" розділ "Описова статистика" можна у такій послідовності дій:

O виконати команди головного меню Excel [Сервіс -> Аналіз даних], вибрати розділ "Описова статистика (рис. 2.44), викликати діалогове вікно;

Рис. 2.44. Розділ "Описова статистика"

O встановити у діалоговому вікні "Описова статистика" (рис. 2.45) вхідні дані та параметри виводу, виконати команду ОК і отримати результати у комірках стовпчиків С:Б (рис. 2.46);

Рис. 2.45. Параметри діалогового вікна

O порівняти результати з розрахунками емпіричних МЦТ і ММ попереднього способу 1 (рис. 2.37), зробити висновки.

Рис. 2.46. Результати розрахунку основних показників описової статистики

Отже, серед розглянутих способів розрахунку статистик (показників МЦТ і ММ), найбільш ефективним і гнучким вважаються засоби з використанням вбудованих статистичних функцій табличного процесора MS Excel.

Початкові та центральні моменти

Для системної характеристики варіаційного ряду використовують спеціальні показники - Початкові та центральні моменти.

Початковий момент к-то порядку варіаційного ряду визначається як:

П

VK =еХК * Їі. (2.13)

Центральний момент к-то порядку визначається за формулою:

П _

ТК =е(х "Х)К *Л, (2.14)

І=і

Де Хі - варіанти розподілу; /І - диференціальні відносні частоти, x - середнє арифметичне.

Очевидно, що перший початковий момент (к=1) має сенс середнього арифметичного варіаційного ряду

П _

Т1 =хХІ " -/і = Х. (2.15)

Перший центральний момент (к=1) дорівнює нулю, що зумовлено властивостями середнього

П _

Т =е (х - Х) ■ /і = о. (2.16)

Другий центральний момент (к=2) - це дисперсія ¡1 варіаційного ряду

П _

Т2 =е(Х ~Х)2 ■ /і = ЯХ2. (2.17)

Третій центральний момент (к=3) характеризує асиметрію розподілу

Тз = £(ХІ - X)3/І.

Якщо розділити третій центральний момент Т3 на куб середньоквадра-тичного відхилення (яХ)3, то отримаємо Коефіцієнт асиметрії розподілу ^4Х:

7% £ (х - Х)3 У = А* . (2.18)

С5*) С5*) 1=1

Четвертий центральний момент т4 дає можливість оцінити "загостреність" варіаційного ряду, тобто оцінити ексцес

Т4 = £(х, - X)4/ . Коефіцієнт ексцесу ЕХ визначається через 4-й центральний момент Т4 :

-3-[5(х;-Х)3Л]-3-ЕХ (2.19)

Між центральними і початковими моментами існує зв'язок: Т! = 0;

Що витікає з перетворень:

П п п п

Т2 =£(X "X)2/ =е(*2 "2х, Х + X v, =£х2У) - е(2х, Х-X2)/І = І=і і=і і=і і=і

= уГ - х(х, Х+х~Х-X2)/і = уГ - Х%/ - Х£(х, - X)/; ^2 -^ -0 = уГ - V2

І=1 і=1 і=1

П П

Отже, якщо т2 = V2 =е ХІ ' Ї; , VL =еХ;' Ї; , то можна отримати ще одне співвідношення, яке використовується для розрахунку дисперсії:

П ( П 2

І=1 v і=1 )

Центральні моменти 3-го і 4-го порядку теж можна записати за допомогою початкових моментів:

Т3 = v3 - 3^2 + 2v3, (2.20)

Т4 = v4 - 4^3 + 6v12V2 - 3v4 і т. д.

Практика статистичних досліджень обмежується, як правило, використанням моментів до 4-го порядку.

На основі порівняння значень теоретичних і вибіркових моментів виконується оцінювання параметрів розподілів випадкових величин (див., наприклад, розділ 4 "Методи статистичного оцінювання").



Схожі статті




Математична статистика - Руденко В. М. - Розрахунки та інтерпретація МЦТ і ММ

Предыдущая | Следующая