Математична статистика - Руденко В. М. - 3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ
Повторні випробування
Явища і процеси, що вивчає психологія, - це, як правило, складні події. Тому формування теоретичної бази опису таких подій зручно розглядати на прикладі повторних випробувань. Тестування та іспити студентів можна вважати при деяких умовах прикладом таких випробувань.
З Класичного визначення ймовірність - це число, до якого наближається Частота появлень бажаної події при збільшенні незалежно виконаних випробовувань. До того ж і ймовірність, і частота виражаються в долях одини-
16 {Іноді пишуть "закони великих чисел", маючи на увазі основні теореми (Бе-рнуллі, Чебишева, центральної граничної теореми та ін.).}
7. Охарактеризуйте розподіл, функція якого її(х < 100) =| /(х)сіх = 0,50.
8. Яка інтерпретація площі під графіком щільність розподілу змінної?
9. Яка ймовірність визначається розподілом і щільністю розподілу?
10. Як визначити ймовірність за процентилем нормального розподілу?
11. Що таке математичне сподівання випадкової величини?
12. Поясніть властивості математичного сподівання випадкової величини.
13. Сформулюйте означення моди і медіани випадкової величини.
14. Сформулюйте означення дисперсії випадкової величини.
15. Охарактеризуйте властивості дисперсії випадкової величини.
16. Які показники називають початковим і центральним моментом К-то порядку випадкової величини?
17. Чим відрізняються формули початкового і центрального моментів випадкової величини?
18. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.11 - 3.15.
Ці, їхні чисельні значення розміщені між нулем і одиницею, хоча, як відомо, частота випадкової величини і її Ймовірність не співпадають в ідеалі.
Ймовірність, яку можна вказати до випробувань, називають Апріорною. Наприклад, при підкиданні монети наперед відомо, що вона може впасти вгору "гербом" або "цифрою". Тут можливі лише дві події, ймовірності яких (якщо монета ідеальна) однакові: /"("герб") = /"("цифра") = 54 = 0,5.
Інша ситуація може мати місце при випробовуваннях, наприклад, впливу нових педагогічних технологій або психологічних методик на окремих осіб (школярів, студентів тощо) або на весь колектив. Результати таких випробувань передбачити наперед неможливо. Статистична ймовірність здійснення таких подій може бути встановлена тільки на підставі досліду, тобто Апостеріорі.
Для практики застосування математичного апарату теорії ймовірностей важливе значення має Відповідь на питання про те, чи співпадають Апріорні (теоретичні) ймовірності зі статистичними (емпіричними) ймовірностями, представленими у вигляді частот? І якщо так, то при яких умовах?
Даючи принципово позитивну відповідь на це питання, численні досліди і
Т
Спостереження показали, що частоти випадкових подій типу - наближа-
П
Ються до їхніх ймовірностей р у міру збільшення числа випробувань и. Наприклад, якщо одну й ту ж монету підкидати велику кількість разів, то в якомусь числі випробувань випаде "герб", а в інших випаде "цифра". Примітно те, що чим більше здійснено випробувань, тим емпірична частота події стає ближчою до її Теоретичної ймовірності (для ідеальної монети/>=0,5).
Існують і прямі експериментальні підтвердження того, що частота здійснення деяких подій близька до ймовірності, визначеної з теоретичних міркувань, наприклад, результати випробувань з підкиданням монети (табл. 3.6).
З табл. 3.6 видно, що при збільшені числа випробувань П відхилення ЧасТ
Тоти події від її ймовірності--р зменшується. У цьому факті є прояв дії
П
Так званого закону великих чисел: вибіркові характеристики при зростанні числа дослідів наближаються до теоретичних, а це дає можливість оцінювати параметри імовірнісних моделей за даним дослідів.
Таблиця 3.6
Результати випробувань
Закон великих чисел носить об'єктивний характер і має відповідну емпіричну базу. Висновки закону підтверджують, наприклад, досліди Кетле: в урну поміщали 20 білих і 20 чорних куль, потім витягували з неї навмання одну кулю, реєстрували її колір і повертали кулю назад. Кожне випробування повторювали багато разів. Ймовірність появи білої або чорної кулі залишалася при цьому постійною, рівною 1/2 (див. табл. 3.7).
Таблиця 3.7
Результати дослідів Кетле
З табл. 3.7 видно, як із збільшенням числа випробувань співвідношення білих і чорних куль наближається до одиниці.
Т
Закон великих чисел стверджує, що частота - події А буде скільки заП
Вгодно близькою до її ймовірності р, якщо число випробувань П необмежено зростає. Можна взяти скільки завгодно мале число є і порівнювати його з різницею між відносною частотою і ймовірністю події. Ймовірність того, що ця різниця перевищить число є, прагнутиме до нуля при прагненні числа випробувань п до нескінченності:
Отже, частота події і її імовірність не співпадають, проте різниця між ними зменшується при збільшенні числа випробувань. Це значить, що статистичні закономірності виявляються тільки у багаторазових повторних випробуваннях і кількість таких випробувань п повинна бути значною.
Схожі статті
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Розподіли випадкових величин
Розподіли випадкових величин Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Розподіли випадкових величин Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Математичне сподівання
Випадкову величину X можна повноцінно характеризувати функцією розподілу подій сс>і, (функція визначена на просторі елементарних подій £2). Функція...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Характеристики випадкових величин
Випадкову величину X можна повноцінно характеризувати функцією розподілу подій сс>і, (функція визначена на просторі елементарних подій £2). Функція...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Ймовірність подій
Випадкову подію можна передбачити лише з деякою ймовірністю. Ймовірність події - це чисельна міра об'єктивної можливості цієї події (інтуїтивне означення...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Дисперсія випадкової величини
Математичне сподівання показує, навколо якої чисельної міри групуються значення випадкової величини. Проте, необхідно також мати можливість вимірювати...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Ранжировані розподіли
Атрибутивні розподіли Використовуються у разі Номінальних (категоріальних) типів вимірювань властивостей досліджуваних об'єктів. Приклад 2.5. Розрахувати...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 2.2. ПОКАЗНИКИ ВИБІРКИ
Міри центральної тенденції (МЦТ) Мірами центральної тенденції (МЦТ) називають чисельні показники типових властивостей емпіричних даних. Ці показники...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Міри центральної тенденції (МЦТ)
Міри центральної тенденції (МЦТ) Мірами центральної тенденції (МЦТ) називають чисельні показники типових властивостей емпіричних даних. Ці показники...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Формула Байєса
Формула повної ймовірності дає можливість розрахувати ймовірність Р(А) події А, якщо вона залежить від системи подій-гіпотез Н1,Н2,...,НП, за умовними...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Елементи комбінаторики
Формула повної ймовірності дає можливість розрахувати ймовірність Р(А) події А, якщо вона залежить від системи подій-гіпотез Н1,Н2,...,НП, за умовними...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Атрибутивні розподіли
Атрибутивні розподіли Використовуються у разі Номінальних (категоріальних) типів вимірювань властивостей досліджуваних об'єктів. Приклад 2.5. Розрахувати...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Основні завдання та методи математичної статистики
Основні завдання та методи математичної статистики Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Міри мінливості (ММ)
Обмеженість мір центральної тенденції для характеристики сукупностей можна продемонструвати на прикладі двох вибірок (рис. 2.29), які мають Різні...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 2.1. ЕМПІРИЧНІ РОЗПОДІЛИ
Статистичні показники, що розкривають властивості вибірки, можна представити такими основними групами: - Емпіричними розподілами (варіаційними,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 2. СТАТИСТИЧНІ ПОКАЗНИКИ ВИБІРКИ
Статистичні показники, що розкривають властивості вибірки, можна представити такими основними групами: - Емпіричними розподілами (варіаційними,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Умовна ймовірність
Якщо подія А відбувається у випробувані, яке обмежене додатковими умовами здійснення події В, то міра можливості події А визначається Умовною ймовірністю...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Формула повної ймовірності
Якщо подія А відбувається у випробувані, яке обмежене додатковими умовами здійснення події В, то міра можливості події А визначається Умовною ймовірністю...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Основні поняття і означення
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3.1. ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Незгруповані розподіли
Незгруповані Розподіли застосовують до емпіричних даних, властивості яких виміряні за інтервальними або відносними шкалами і приймають тільки певні, як...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Згруповані розподіли
Розподіли згрупованих частот Використовуються у разі інтервальних або відносних типів вимірювань, якщо емпіричні дані приймають будь-які дійсні значення...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Варіаційні ряди та статистичні розподіли
Статистичні показники, що розкривають властивості вибірки, можна представити такими основними групами: - Емпіричними розподілами (варіаційними,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Розрахунки та інтерпретація МЦТ і ММ
Розрахунки показників МЦТ і ММ можна здійснити в MS Excel трьома способами з використанням: O математичних операцій за відповідних формул МЦТ і ММ; O...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Початкові та центральні моменти
Розрахунки показників МЦТ і ММ можна здійснити в MS Excel трьома способами з використанням: O математичних операцій за відповідних формул МЦТ і ММ; O...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 1. ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Основні завдання та методи математичної статистики Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Квантилі
Квантилем Називається значення ранжированої змінної, що відокремлює від варіаційного ряду певну частку обсягу сукупності. Квантиль - загальне поняття. В...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Операції над подіями
Основні операції над подіями можна продемонструвати прикладами алгебри подій - алгебри Буля - у вигляді діаграм Венна (рис. 3.1). Рис. 3.1. Операції над...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Нормовані дані
Квантилем Називається значення ранжированої змінної, що відокремлює від варіаційного ряду певну частку обсягу сукупності. Квантиль - загальне поняття. В...
Математична статистика - Руденко В. М. - 3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ