Логіка - Карамишева Н. В. - Відношення логічного слідування між формулами
Між певними формулами логіки висловлювань існує відношення логічного слідування. Це означає: якщо із формули виду слідує формула виду то кожен раз, коли формула Р є істинною, то й формула Р2 є істинною. Формальний вираз відношення логічного слідування: Р, -" Р2. Наприклад, із формули виду А слідує формула виду А v В; із формули виду -> - o А слідує формула виду А; із формули виду А v А слідує формула виду А.
На підставі встановлення відношення рівносильності та слідування здійснюють операцію доведення певних формул на істинність за правилами виведення. Операція доведення - невід'ємна частина будь-якого числення висловлювань.
Числення логіки висловлювань - система символів і правил логічного виведення із аксіом довільних формул або теорем з метою їх доведення на істинність. Розрізняють натуральне й аксіоматичне числення логіки висловлювань.
Натуральне числення логіки висловлювань відтворює логічну будову звичайних міркувань. Вперше натуральні числення розробили незалежно один від одного польський логік С. Яськовський (1906-1965) і німецький логік Г. Генцен (1907-1945) у 30-х роках XX ст.
Розглянемо одну із систем натурального числення, яку позначимо літерою 5. Основні правила системи 5.
1. Правила логічного слідування
(А -> В, А) -" В (правило модус поненс); (А -" В, - і В) -" -" А (правило модус толленс); (А, В) -> А л В (правило ВК - введення кон'юнкції); (А л В) -> А; (А л В) -> В (правило УК - усунення кон'юнкції);
А-> (А v В); В -" (А v В) (правило ВД - введення диз'юнкції);
(А 1 В, А) -" - і В; (А 1 В, - В) -" А (правило УД - усунення диз'юнкції);
((А -> В, В -> А)) -" (А = В) (правило ВЕ - введення еквівалентності);
(А = В) -> (А -> В); (А = В) -"(В -> А) (правило УЕ - усунення еквівалентності));
А -> - і - і А (правило (В32) - введення подвійного заперечення);
-" - і А -> А (правило У32 - усунення подвійного заперечення).
2. Правила побудови доведення.
2.1. Правила побудови прямого доведення. Пряме доведення формули А1 -> (А2 ... (Ая -> С) будується в такий спосіб. На будь-якому кроці доведення можна визначити:
1. Одну із формул А., А2,... Ап як припущення.
2. Формулу, що випливає з раніше невизначених формул за правилами логічного слідування.
3. Раніше доведену формулу.
Пряме доведення формули вважають побудованим, якщо відповідно до 1-3 ми отримуємо послідовність формул, котрі завершуються формулою С. Наприклад, доведемо
2.2. Непряме доведення формули А, -> (А2 -" (Ал -> С) будується так: На будь-якому кроці доведення можна визначити:
1. Одну з формул А,, А2,... Ая як припущення.
2. Формулу, що суперечить формулі С.
3. Формулу, що випливає з раніше визначених формул за одним із правил логічного слідування.
4. Раніше доведену формулу.
Непряме доведення формули А, -> (А -> (Ая -> С) вважають побудованим, якщо відповідно до 1-4 ми отримуємо послідовність формул, котрі містять пару формул, що перебувають у відношенні суперечності й завершуються однією з них. Доведемо формулу ((А -" В) а -> В) -> -" А.
Доведення:
Аксіоматична побудова числення висловлювань
Логічні системи такого типу називаються гільбертовськими за ім'ям німецького математика Д. Гільберта (1862-1943). Порівняно із системами натурального числення в численнях гільбертовського типу формальна структура доведення суттєво відрізняється від логічної будови звичних міркувань.
У процесі побудови числень висловлювань гільбертовського типу вибирають кінцевий запас логічних тотожностей як аксіом і зазначають правила, за допомогою котрих можна отримати з аксіом нові логічні тотожності як теорем відповідної логічної системи.
Розглянемо систему 5, в якій аксіомами є такі формули: А, А (В -" А)
Єдиним правилом виводу є правило модус поненс (А -> В, А) -> В.
Доведення в системі 8 формули будується в такий спосіб. На будь-якому кроці доведення можна визначити:
1. Одну із аксіом.
2. Формулу, що слідує із раніше визначених формул за правилом модус поненс.
Доведення формули Р вважають побудованим, якщо відповідно до 1-2 отримуємо послідовність формул, що завершуються формулою Р. Наприклад, доведення формули А А будують так. Доведення:
Металогічна оцінка логіки висловлювань
На рівні мета-логічного аналізу визначають, що логіка висловлювань (ЛВ) відповідає принципам побудови формально-логічних систем:
- принципу несуперечності, тобто в ній не виводять жодних двох формул, одна з якої була б запереченням іншої;
- принципу повноти, тобто всі тотожно-істинні формули є доведеними формулами ЛВ;
- принципу розв'язуваності, тобто в ЛВ існує алгоритм, який дає змогу для будь-якої формули виду А встановити, доведена вона чи ні.
Інтерпретація логіки висловлювань (ЛВ) означає:
- роз'яснення смислу логічних символів, що позначають пропозиційні змінні (логічні сполучники) у складному висловлюванні;
- побудову семантичної моделі з метою визначення істиннісних значень виразів формалізованої мови ЛВ та опису цих значень.
Логіка висловлювань може бути інтерпретована у всіх сферах діяльності людей (науковій, філософській, юридичній, економічній та ін.), де необхідна точність міркувань і строгість виведення з істинних засновків істинного висновку.
Логіка висловлювань, в межах якої визначені закони слідування (виведення) одних висловлювань із інших, може бути інтерпретована в міркуваннях, де має місце строге виведення. Наприклад, логіки і математики визначили інтерпретацію логіки висловлювань у теорії релейно-контактних схем, у теорії автоматів тощо. Для інтерпретації логіки висловлювань задають клас (множину) висловлювань, у межах якої висловлювання з певним змістом може бути формалізовано мовою логіки висловлювань й інтерпретована певна формула, тобто перетворена на висловлювання, якій надають значення істинності.
Розглянемо операції формалізації висловлювань мовою логіки висловлювань й інтерпретації формул логіки висловлювань у сфері права.
1. "З появою держави та права в суспільстві виникають нові види суспільних відносин: політичні й правові". Для формалізації цього складного висловлювання визначимо його формальну структуру та тип логічного зв'язку. До них належать зв'язки кон'юнкції (і, та), які пов'язують терміни "держава", "право", "політичні й правові відносини", та імплікація (слідування), виражена неявно. Записуємо це висловлювання формально, тобто мовою логіки висловлювань:
2. Побудуємо формулу логіки висловлювань: А1В. Інтерпретуємо її в сфері права. Наприклад: "Державна влада в країні здійснюється або внаслідок дотримання основних прав людини (А) або внаслідок порушення основних прав людини (В)". Строга диз'юнкція унеможливлює водночас співістинність цих двох висловлювань (дотримання основних прав людини) (а) та порушення основних прав людини (В), отже, одне з цих висловлювань (А, В) - істинне, а інше - хибне. Надамо значення істинності висловлюванню А, висловлюванню ж В - значення хибності. Знаходимо значення істинності для цієї інтерпретованої формули А1 В. На підставі таблиці істинності (див. вище) враховуємо: якщо висловлювання А - істинне, а висловлювання В - хибне, то складне висловлювання, що побудоване за формулою А 1 В, - істинне.
Схожі статті
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 4.2.1. Логіка висловлювань
4.2.1. Логіка висловлювань Логічні висловлювання - суть тавтології, які показують внутрішні відношення, але самі не кажуть нічого... Вони - аналітичні...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 4.2. Класична символічна логіка
4.2.1. Логіка висловлювань Логічні висловлювання - суть тавтології, які показують внутрішні відношення, але самі не кажуть нічого... Вони - аналітичні...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Рівносильні формули логіки висловлювань
Формули називаються рівносильними, якщо таблиці істинності цих формул будуть збігатися. Рівносильні формули називаються ще еквівалентними, бо в процесі...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон тотожності
Завдання логіки - підвищитися над тими забобонами, які відбуваються від нечіткості та плутанини непослідовного мислення. В. Мінто Термін "закон логіки"...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.3. Закони логіки
Завдання логіки - підвищитися над тими забобонами, які відбуваються від нечіткості та плутанини непослідовного мислення. В. Мінто Термін "закон логіки"...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Способи спростування
Процес обгрунтування хибності тези, аргументів, демонстрації здійснюється у формі критики. Критика тези, аргументів, демонстрації означає їх...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Структура формально-логічної системи
У ній розрізняють синтаксис і семантику. На синтаксичному рівні дають визначення й аналіз суто формальних відношень між символами в межах певної системи....
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Правила доведення і спростування та логічні помилки під час їх порушення
Процес обгрунтування хибності тези, аргументів, демонстрації здійснюється у формі критики. Критика тези, аргументів, демонстрації означає їх...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.4.3. Умовивід
Умовивід - це мовлення, в якому якщо дещо припущено, то з нього закономірно випливає дещо відмінне від припущеного. Арістотель Загальна характеристика...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Формально-логічна система
Метасимвол - це символ, який позначає інші логічні символи, терміни, висловлювання, змінні, пропозиційні формули і под. До метасимволів, зокрема,...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Метасимволи та метатерміни
Метасимвол - це символ, який позначає інші логічні символи, терміни, висловлювання, змінні, пропозиційні формули і под. До метасимволів, зокрема,...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Особливості формально-логічних систем
Визначають на рівні металогіки. Серед них основні такі: 1. Єдності семантичного (змістовного) та синтаксичного (формального) аспектів мови, що створюють...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Принципи побудови формально-логічних систем
Визначають на рівні металогіки. Серед них основні такі: 1. Єдності семантичного (змістовного) та синтаксичного (формального) аспектів мови, що створюють...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Види доведень
Вони є різними. Так, за методом формалізації побудови доведення поділяється на формальне і неформально. У символічній логіці формальне доведення -...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.5. Доведення та спростування
Необхідність - аідрі. тяльна властивість доведення. Арістотель Manifestum поп eget probat Urne - Очевидне не потребує доведення. Доведення - логічна...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.2. Логічні операції
Логічна операція - це не лише гра словами і символами. Операції (в логіці й математиці) - інтелектуальні дії над абстрактними об'єктами (числами,...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон достатньої підстави
Закон виключеного третього (лат. tertium non datur - третього не дано) вперше теоретично сформулював Арістотель: "Рівнозначно не може бути нічого...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон виключеного третього
Закон виключеного третього (лат. tertium non datur - третього не дано) вперше теоретично сформулював Арістотель: "Рівнозначно не може бути нічого...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон несуперечності
Закон несуперечності вперше теоретично сформулював Арістотель: "Неможливо, щоб одне і те саме водночас було і не було притаманне одному й тому самому в...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 2.5. Логіко-семантичні та формально-логічні концепції істини
Temporis filia Veritas - Істина - донька часу. . Естетика виникла від слова "прекрасне", етика - від слова "добре", логіка - від слова "істина". Г. Фреге...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.1. Мова науки логіки
У цьому розділі подано виклад традиційної логіки як системи логічного знання. Традиційна логіка визначається як систематизація й узагальнення практики...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Типи парадоксів
Існують парадокси, які виникають у певній галузі наукового знання в процесі історичного розвитку науки, коли виявляється суперечність між певною...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Види парадоксів
Існують парадокси, які виникають у певній галузі наукового знання в процесі історичного розвитку науки, коли виявляється суперечність між певною...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.4.2. Висловлювання
Логіка не вивчає слова, а вивчає висловлювання. Л. Вітгенштайн У сучасній логіці виокремилися два терміни - "судження" та "висловлювання". Вони...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Розділ 3. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
У цьому розділі подано виклад традиційної логіки як системи логічного знання. Традиційна логіка визначається як систематизація й узагальнення практики...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Таблиця логічних символів
У цьому розділі подано виклад традиційної логіки як системи логічного знання. Традиційна логіка визначається як систематизація й узагальнення практики...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 2.4. Логіко-семантичний аналіз мови
Nomina sunt mutabilia, res autem immobiles - Імена змінюються, а самі речі не змінюються. Логіко-семантичний аналіз мови (логічна семантика) як особливий...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 1.3. Історичний розвиток науки логіки. Виникнення різних типів логіки
Логіка - наука про суб'єктивний логос. Наука логіка виникла в Давній Греції. її засновник - давньогрецький філософ і вчений Арістотель (384-382 рр. до н....
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.7. Парадокси
Геній - парадоксів друг. О. Пушкін Парадокс (грец. - несподіваний, дивний) - висловлювання, що суперечить звичним уявленням людей або усталеним системам...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Логічна характеристика відповіді
Бути чи не бути? Ось в чому питання. Вільям Шекспір Якщо людоїд їсть ножем і виделкою, це прогрес? Станіслав Єжи Лец Якщо миша дивиться на Всесвіт, чи...
Логіка - Карамишева Н. В. - Відношення логічного слідування між формулами