Логіка - Карамишева Н. В. - 4.2. Класична символічна логіка
4.2.1. Логіка висловлювань
Логічні висловлювання - суть тавтології, які показують внутрішні відношення, але самі не кажуть нічого... Вони - аналітичні висловлювання.
Л. Вітгенштайн
Логіка висловлювань (ЛВ) - розділ символічної логіки, що вивчає необхідні відношення між висловлюваннями, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань з інших за принципом логічного слідування. Це - історично перша формально-логічна система, побудована засобами.
У межах логіки висловлювань можуть бути побудовані морфологічні системи (формально-логічні теорії без дедуктивної частини, тобто без аксіом і правил виведення) та логічні числення (формально-логічні теорії, на синтаксичному рівні котрих задаються системи їхніх аксіом і строго визначена сукупність правил виведення). Більшість класичних формально-логічних теорій логіки висловлювань побудовано у формі логічних числень. Перше числення висловлювань отримало назву "класичне числення висловлювань" (КЧВ) - формалізація висловлювань засобами особливої мови та здійснення логічних операцій над ними з метою перетворення простих висловлювань на складні та їх перетворення на нові складні висловлювання.
Класична логіка висловлювань (КЛВ) є основою сучасної символічної логіки, на базі якої створюються нові формально-логічні системи (логічні числення). Ідею логічного числення вперше сформулював німецький філософ, логік, математик Г. Ляйбніц. Історично першу систему логіки висловлювань, або алгебру логіки, створив англійський логік Дж. Буль, в якій використовували алгебраїчні методи для вирішення певних логічних задач. Подальший розвиток логіки висловлювань здійснювали логіки та математики - О. де Морган, Б. Шредер, Г. Фреге, Б. Рассел й ін.
Логіка висловлювань як формально-логічна система будується за певним алгоритмом, тобто на підставі визначених принципів і в певній послідовності. Розрізняють семантику і синтаксис логіки висловлювань.
Семантика визначає змістовний аспект неформальних відношень між висловлюваннями у термінах "висловлювання", "властивість", "відношення".
Логічну властивість висловлювання виражає термін "істиннісне значення висловлювання", який визначають суто формально, у процесі абстрагування від конкретного змісту висловлювання. У класичній логіці висловлювань висловлюванню надають два значення істинності: "істина" (і); "хибність" (#), відповідно ця формально-логічна система двозначна за значеннями істинності.
Синтаксис визначає формальну структуру висловлювань і його зображення засобами штучно створеної мови, за допомогою якої аналізується логічна структура висловлювань та здійснюється побудова числення висловлювань (перетворення простих висловлювань на складні й виведення одних складних висловлювань з інших).
Мова логіки висловлювань - система символів, котрі називаються алфавітом. Алфавіт:
1. Символи для позначення простих висловлювань (пропозиційні змінні) - А, В, С, ... (або р, , г, я; р{, р2, р ).
2. Символи, що позначають істиннісні значення висловлювань - "і", "*".
3. Символи для позначень пропозиційних зв'язок (логічні сполучники, логічні постійні):
- кон'юнкції л;
- нестрогої диз'юнкції V;
- строгої диз'юнкції X;
- імплікації ->;
- еквівалентності =;
- заперечення
4. Допоміжні (розділові, технічні) символи - (ліва дужка, права дужка).
Структура логіки висловлювань, побудованої у формі логічного числення: алфавіт, правила побудови формул із символів алфавіту; аксіоми, правила дедуктивного виведення із аксіом нових формул (доведення теорем) на підставі принципу логічного слідування; правила інтерпретації.
Правила побудови формул із символів алфавіту:
1.А - формула (кожна пропозиційна змінна є правильно побудованою формулою).
2. Якщо Л є довільною та правильно побудованою формулою, то -" А також є правильно побудованою формулою.
3. Якщо А, В - довільні формули, то й А Л В - формула; А V В - формула; А -> В - формула; А = В - формула.
4. Жодних інших формул у логіці висловлювань немає.
Формули поділяють на прості (елементарні, атомарні) й складні (молекулярні). Формула виду А є простою, а формула виду А у В - складною. Складні формули утворюють з простих за допомогою логічних операцій кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності, заперечення.
Подаємо приклади таких формул у логіці висловлювань:
- А л В - складне кон'юнктивне висловлювання (чит.: А і В);
- Л V В - складне диз'юнктивне висловлювання (чит.: А або В);
- А JL В - складне диз'юнктивне висловлювання (чит.: або А, або В);
- А - В - складне імплікативне висловлювання (чит.: якщо А, то В);
- А s В - складне еквівалентне висловлювання (чит.: якщо і лише якщо А, то В);
--'А - заперечення (чит.: неправильно, що А);
--1 В - заперечення (чит.: неправильно, що В).
Якщо правила побудови формул формулюють на синтаксичному рівні, то на семантичному рівні задають процедуру розкладання складних формул на прості, яка отримала назву "метод побудови аналітичних таблиць".
Аналітична таблиця - метод розкладання складних формул на прості (елементарні, підформули), що здійснюють за правилами редукції (лат. reductio - повернення назад). Це схема зображення всіх формул, отриманих за правилами редукції. Правила редукції формулюють для всіх пропозиційних зв'язок: кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності, заперечення. Наприклад, якщо формула виду А Л В зображає кон'юнкцію, то вона розкладається на формули А, В, при чому ліворуч перед формулою, що редукується, ставлять символ Г, а всі формули, розташовані справа від символу редукування, позначають символом V. Якщо після застосування правил редукції стосовно конкретної складної формули отримують будь-яку просту формулу та її заперечення, то складну формулу називають замкненою.
Загальна аналітична таблиця для всіх пропозиційних зв'язок має таке зображення:
На підставі цих аналітичних таблиць формулюють відповідні аналітичні правила, котрі дають змогу визначити такий набір значень простих (атомарних) висловлювань, за яких складне висловлювання є істинним або хибним. Так, якщо припустити, що складна формула хибна, а внаслідок застосування аналітичних правил отримують усі замкнуті гілки (тобто всі можливості наборів значень для її простих висловлювань суперечливі), то з цього доходять висновку про те, що припущення є помилковим, а сама формула - тотожно-істинною. В основі такого обгрунтування покладено доведення "від супротивного". Ось приклад такого обгрунтування. Допустимо, що формула -" -> А = А хибна. Тоді аналітична таблиця для цієї формули матиме побудову:
Де символи Т і F позначають метавластивості виразу "бути істинним" і "бути хибним". Отже, кожна з двох можливостей (гілок) замкнена, оскільки в них проста атомарна формула А водночас істинна (Т(А) та хибна (F(A), що є явною суперечністю. У такий спосіб формула - o - o А = А - тотожно-істинна.
Множинність формул, створених на підставі введеного алфавіту, - це клас формул логіки висловлювань (ЛВ), з яких виокремлюється підклас тотожно-істинних формул (тавтології, аксіоми). На семантичному рівні обгрунтування, що створено зі символів алфавіту, формула певного виду є тотожно-істинною формулою (тавтологією, аксіомою) у межах ЛВ, здійснюють не лише методом побудови аналітичної таблиці для будь-якої складної формули, а й за допомогою методу побудови таблиці істинності для цієї формули.
Таблиця істинності для формул логіки висловлювань:
Наведемо приклад обгрунтування того, що формула виду (А V В) -> (В V А) є тотожно-істинною методом побудови таблиці істинності:
Відповідь: оскільки при всіх наборах істиннісних значень для А та В формула виду (А V В) -> (В V А) набуває значення "істинне", то вона - тотожно-істинна формула (аксіома, тавтологія).
Визначення або обгрунтування семантичної властивості будь-якої довільної складної формули в логіці висловлювань може здійснюватися і на синтаксичному рівні, тобто на підставі аналізу зовнішнього вигляду (структури) самої формули. Для цього використовують розв'язувальну процедуру - зведення формули до її кон'юнктивної нормальної форми (КНФ) або диз'юнктивної нормальної форми (ДНФ).
Якщо нормальна форма є формулою, яка містить лише логічні операції кон'юнкції, диз'юнкції та заперечення, то кон'юнктивою нормальною формою називають формулу, яка є кон'юнкцією елементарних диз'юнкцій (тобто диз'юнкцій простих формул або їх заперечень), а диз'юнктивною нормальною формою називають формулу, що є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій (тобто кон'юнкції простих формул або їх заперечень). Наприклад, формула виду ("o А, V А2) л А8 є КНФ, а саме - кон'юнкцією таких двох елементарних диз'юнкцій, як і А, V А2 та А,; формула виду (-"А1 Л А^) V А, V А4 є ДНФ, а саме - диз'юнкцією таких трьох елементарних кон'юнкцій, як -" А1 Л А2, А3, А4, а формула виду А, V А2 Л А3 не є ні КНФ, ні ДНФ.
Формула тотожно-істинна, якщо в кожну елементарну диз'юнкцію її КНФ одночасно входить будь-яка її проста формула разом зі своїм запереченням (таке входження ще називають регулярним). Наприклад, КНФ для формули (А -> В) -> (-ч В -" - і А) має вигляд (Ач В V -> А) л (-> В V В V -> А). Оскільки і перша елементарна диз'юнкція (А V В V - o А) містить регулярне входження А та - o А, і друга елементарна диз'юнкція ("o В V В V -"А) містить регулярне входження -"В і В, то й кон'юнкція цих двох істинних диз'юнктивних формул є істинною формулою, а отже, є істинною і та формула, для якої було знайдено саме цю КНФ.
Формула тотожно-хибна, якщо в кожну елементарну кон'юнкцію її ДНФ одночасно входить будь-яка її проста формула разом зі своїм запереченням, оскільки диз'юнкція всіх хибних підформул - хибна формула. Якщо ні КНФ, ні ДНФ конкретної складної формули не містить у своїх підформулах регулярних входжень, то таку складну формулу вважають нейтральною (або виконуваною), і її істиннісне значення залежить не лише від логічної структури, а й від конкретних властивостей простих висловлювань бути істинними чи хибними.
У логіці висловлювань будь-яку правильно побудовану складну формулу можна звести або до КНФ, або до ДНФ через рівносильні перетворення, причому кількість КНФ чи ДНФ для однієї формули може бути довільною (тобто кожна формула може мати не одну КНФ або ДНФ, а низку множинностей КНФ чи ДНФ). Рівносильні перетворення полягають у заміні формули одного вигляду на формулу іншого вигляду за умови, що ці дві формули рівносильні.
У процесі зведення формул до КНФ чи ДНФ здебільшого o використовують закони дистрибутивності, подвійного заперечення, законів де Моргана (про них розглянемо далі).
Схожі статті
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Таблиця логічних символів
У цьому розділі подано виклад традиційної логіки як системи логічного знання. Традиційна логіка визначається як систематизація й узагальнення практики...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Структура формально-логічної системи
У ній розрізняють синтаксис і семантику. На синтаксичному рівні дають визначення й аналіз суто формальних відношень між символами в межах певної системи....
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Розділ 4. СИМВОЛІЧНА ЛОГІКА
Логіка є вільне конструювання за певним правилом. І. Фіхте Логіка належить до мови. Вона дає систему правил, які допомагають здійснювати висновок нових...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Особливості формально-логічних систем
Визначають на рівні металогіки. Серед них основні такі: 1. Єдності семантичного (змістовного) та синтаксичного (формального) аспектів мови, що створюють...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Принципи побудови формально-логічних систем
Визначають на рівні металогіки. Серед них основні такі: 1. Єдності семантичного (змістовного) та синтаксичного (формального) аспектів мови, що створюють...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон достатньої підстави
Закон виключеного третього (лат. tertium non datur - третього не дано) вперше теоретично сформулював Арістотель: "Рівнозначно не може бути нічого...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон виключеного третього
Закон виключеного третього (лат. tertium non datur - третього не дано) вперше теоретично сформулював Арістотель: "Рівнозначно не може бути нічого...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.4.2. Висловлювання
Логіка не вивчає слова, а вивчає висловлювання. Л. Вітгенштайн У сучасній логіці виокремилися два терміни - "судження" та "висловлювання". Вони...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 2.5. Логіко-семантичні та формально-логічні концепції істини
Temporis filia Veritas - Істина - донька часу. . Естетика виникла від слова "прекрасне", етика - від слова "добре", логіка - від слова "істина". Г. Фреге...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон тотожності
Завдання логіки - підвищитися над тими забобонами, які відбуваються від нечіткості та плутанини непослідовного мислення. В. Мінто Термін "закон логіки"...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.3. Закони логіки
Завдання логіки - підвищитися над тими забобонами, які відбуваються від нечіткості та плутанини непослідовного мислення. В. Мінто Термін "закон логіки"...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Формально-логічна система
Метасимвол - це символ, який позначає інші логічні символи, терміни, висловлювання, змінні, пропозиційні формули і под. До метасимволів, зокрема,...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Метасимволи та метатерміни
Метасимвол - це символ, який позначає інші логічні символи, терміни, висловлювання, змінні, пропозиційні формули і под. До метасимволів, зокрема,...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.1. Мова науки логіки
У цьому розділі подано виклад традиційної логіки як системи логічного знання. Традиційна логіка визначається як систематизація й узагальнення практики...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.2. Логічні операції
Логічна операція - це не лише гра словами і символами. Операції (в логіці й математиці) - інтелектуальні дії над абстрактними об'єктами (числами,...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Розділ 3. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
У цьому розділі подано виклад традиційної логіки як системи логічного знання. Традиційна логіка визначається як систематизація й узагальнення практики...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Способи спростування
Процес обгрунтування хибності тези, аргументів, демонстрації здійснюється у формі критики. Критика тези, аргументів, демонстрації означає їх...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 4.1. Металогіка
Логіка є вільне конструювання за певним правилом. І. Фіхте Логіка належить до мови. Вона дає систему правил, які допомагають здійснювати висновок нових...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.4.3. Умовивід
Умовивід - це мовлення, в якому якщо дещо припущено, то з нього закономірно випливає дещо відмінне від припущеного. Арістотель Загальна характеристика...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Правила доведення і спростування та логічні помилки під час їх порушення
Процес обгрунтування хибності тези, аргументів, демонстрації здійснюється у формі критики. Критика тези, аргументів, демонстрації означає їх...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 2.4. Логіко-семантичний аналіз мови
Nomina sunt mutabilia, res autem immobiles - Імена змінюються, а самі речі не змінюються. Логіко-семантичний аналіз мови (логічна семантика) як особливий...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 1.3. Історичний розвиток науки логіки. Виникнення різних типів логіки
Логіка - наука про суб'єктивний логос. Наука логіка виникла в Давній Греції. її засновник - давньогрецький філософ і вчений Арістотель (384-382 рр. до н....
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Семіотична концепція мови
Мова для філософів XX ст. виявляється реальністю, що приховує таємниці буття, як для філософів XVII-XIX ст. - мислення. А. Лосєв Термін "мова" залежно...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 2.2. Мова як знакова система
Мова для філософів XX ст. виявляється реальністю, що приховує таємниці буття, як для філософів XVII-XIX ст. - мислення. А. Лосєв Термін "мова" залежно...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Типи парадоксів
Існують парадокси, які виникають у певній галузі наукового знання в процесі історичного розвитку науки, коли виявляється суперечність між певною...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Види парадоксів
Існують парадокси, які виникають у певній галузі наукового знання в процесі історичного розвитку науки, коли виявляється суперечність між певною...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Закон несуперечності
Закон несуперечності вперше теоретично сформулював Арістотель: "Неможливо, щоб одне і те саме водночас було і не було притаманне одному й тому самому в...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 2.3. Мова як репрезентант мислення
Ви повинні поглянути на практику мови, і тоді ви побачите логіку. Л. Вітгенштайн Мова для людини, суб'єкта практичної та пізнавальної діяльності, постає...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - Види доведень
Вони є різними. Так, за методом формалізації побудови доведення поділяється на формальне і неформально. У символічній логіці формальне доведення -...
-
Логіка - Карамишева Н. В. - 3.5. Доведення та спростування
Необхідність - аідрі. тяльна властивість доведення. Арістотель Manifestum поп eget probat Urne - Очевидне не потребує доведення. Доведення - логічна...
Логіка - Карамишева Н. В. - 4.2. Класична символічна логіка