Математична статистика - Руденко В. М. - Дисперсійний двофакторний аналіз
Дисперсійний двофакторний аналіз застосовується в тих випадках, коли досліджується одночасна дія двох факторів на різні вибірки об'єктів, тобто коли різні вибірки опиняються під впливом різних поєднань двох факторів. Може статися, що одна змінна значущо діє на досліджувану ознаку тільки при певних значеннях іншої змінної. Наприклад, посилення мотивації може підвищувати швидкість рішення завдань у високоінтелектуальних осіб і знижувати її у низькоінтелектуальних. Отже, дисперсійний двофакторний аналіз дозволяє оцінити не лише вплив кожного з факторів, але й їхню взаємодію.
Суть методу залишається тією самою, як і при однофакторній моделі, але у двофакторному дисперсійному аналізі можна перевірити більшу кількість гіпотез, проте розрахунки дещо складніші, ніж в однофакторних комплексах.
Дисперсійний двофакторний аналіз пред'являє особливі вимоги до формування комплексів. Для кожного фактора має бути не менше двох градацій; у кожному осередку комплексу повинно бути не менше двох спостережуваних значень для виявлення взаємодії градацій; комплекс має бути симетричною системою: кожній градації фактора А повинна відповідати однакова кількість градацій фактора В; результативна ознака повинна мати нормальний розподіл; фактори мають бути незалежними, що може бути підтверджено відсутністю кореляційного зв'язку між змінними-чинниками.
Приклад 6.2. Чотирьом групам по 4 випробовуваних у різних комбінаціях швидкості пред'явленні і довжини слова було запропоновано завдання з 10 слів для відтворення їх через деякий час (табл. 6.2).
Таблиця 6.2
Фактори |
Групи: | |||
А1В1 |
А2В1 |
А1В2 |
А2В2 | |
А - довжина |
Короткі слова |
Довгі |
Короткі слова |
Довгі |
В - швидкість |
Висока |
Низька | ||
1 |
7 |
5 |
4 |
6 |
2 |
5 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3 |
7 |
4 |
7 |
4 |
4 |
5 |
Середні: |
5,75 |
4,00 |
3,50 |
5,50 |
Необхідно довести значущість припущення про те, що між факторами довжини слова (А) і швидкістю їх пред'явлення (В) спостерігається взаємодія: при великій швидкості пред'явлення краще запам'ятовуються короткі, при низькій швидкості - довгі слова, що показано на рис. 6.7.
Рис. 6.7. Залежність середньої кількості відтворених слів від їхньої довжини і швидкості пред'явлення
Послідовність рішення:
O Формулювання гіпотез. Зважаючи на умови дослідження, необхідно висунути три комплекти неспрямованих гіпотез, які стосуються впливу фактора А окремо від фактора В, впливу фактора В окремо від фактора А і гіпотези про вплив взаємодії градацій факторів А і В.
Кількість відтворених слів різної довжини і швидкості їх пред'явлення
1-й комплект гіпотез:
Н0(1): відмінності в обсязі відтворення слів, обумовлені дією фактора А, є не більше вираженими, ніж випадкові відмінності між показниками;
Над: відмінності в обсязі відтворення слів, обумовлені дією фактора А, є більш вираженими, ніж випадкові відмінності між показниками.
2-й комплект гіпотез:
Н0(2/: відмінності в обсязі відтворення слів, обумовлені дією фактора В, є не більше вираженими, ніж випадкові відмінності між показниками;
Н1(2У відмінності в обсязі відтворення слів, обумовлені дією фактора В, є більш вираженими, ніж випадкові відмінності між показниками.
3-й комплект гіпотез:
Н0(3/: вплив фактора А на обсяг відтворення слів Однаковий при різних градаціях фактора В і навпаки;
Н1(3): вплив фактора А на обсяг відтворення слів Різний при різних градаціях фактора В і навпаки.
O Перевірка припущень: досліджуваний параметр має Нормальний розподіл; вибірки Незв'язані однакових обсягів; виміри за шкалою відношень.
O Визначення емпіричного критерію. Ситуації відповідає модель двобічного ^-критерію, для якого необхідно визначати три емпіричні значення:
¥А - характеризує варіативність ознаки, зумовлену дією фактора А; ¥В - характеризує варіативність ознаки, зумовлену дією фактора В; ¥ЛВ - характеризує варіативність, зумовлену взаємодією факторів Л і В.
O Введені позначення:
П = 4 - кількість об'єктів (рядків у групі випробувань);
І = 2 - кількість факторів Л;
Т = 2 - кількість факторів В;
Піт = 2-2-4 = 16 - загальна кількість значень;
К - індекс об'єктів змінюється від 1 до п (і = 1, ..п);
І - індекс факторів Л змінюється від 1 до і (7 =
7 - індекс факторів В змінюється від 1 до т (к = 1,..т).
O Розрахунки критеріїв FA, FB і FAS рекомендовано починати з побудови за емпіричними даними спеціальної таблиці, що відтворює двофакторний дисперсійний комплекс (рис.6.8 і 6.9)
Рис. 6.8. Результати двофакторного дисперсійного аналізу
O Розрахувати середні значення :
У комірках В11:С12 для кожної вибірки
- 1 ^ - 1
ХІ=-2^ХІк (наприклад, хп =-(7 + 5 + 4 + 7) = 5,75); П К=1 4
У комірках Б3:Е10 повторити значення для кожної вибірки;
У комірках В 13:С 13 по фактору А (по стовпчику)
- 1 1 - 1
Х*/ = -^хІІ (наприклад, х*1 = ~(5,75 + 3,50) = 4,63);
1 і=1 2
У комірках 011:012 по фактору В (по рядках)
Хі* = - У х (наприклад, х1* = --(5,75 + 4,00) = 4,88 );
Т І=1 2
У комірках Б13:Е13 для всіх вибірок
Х = у-(х = (5,75 + 4,00 + 3,50 + 5,50) * 4,69);
1' т,=1 і=1 2 o 2
O Розрахувати суми квадратів різниць у комірках В18:В22 за допомогою формул і відповідних виразів(див. рис. 6.9):
O Розрахувати середні квадрати у комірках В23:В26 за допомогою формул і відповідних виразів:
1 ~ (1 -1); 2~(т -1); 3~(1 - 1)(т -1); 4~ 1 ■ т ■ (п -1) .
O Розрахувати емпіричні критерії у комірках В23:В25:
РА - 4 = 056 - 0,46; ГВ - 4 - 0,06 . 0,05; ЕМ - І = 14,06 . 11,44; А я42 1,23 ' В я42 1,23 ' АВ я2 1,23 ' '
O Критичні значення ¥-критерію можна отримати за допомогою функції =РРАСПОБР для прийнятого рівня значущості а і ступенів вільності. І/А = (1-1)=(2-1)=1, <#В=(т-1)=(2-1)=1, с$АВ =(1-1)(т-1)=1 сІ/2=1-т-(п-1)=12. Отже, і відповідні критичні значення для РКрА, РКрВ, РКрАВ також будуть однакові. На рівні значущості 0,05 критичне значення Р(112) ~ 4,75.
Рис. 6.9. Розрахункові формули двофакторного дисперсійного аналізу
O Прийняття рішення. Оскільки FA < F(112) (0,46 < 4,75) і FB < F(112) (0,05<4,75), нульові гіпотези И0(і) і H0(2) приймаються. У той же час, оскільки Fab > F(ij2) (11,44 > 4,75), нульова гіпотеза H0(3) відкидається.
O Формулювання висновків. Відмінності в обсязі відтворення слів, що обумовлені окремо факторами А і В, не є більш вираженими, ніж випадкові. Проте вплив фактора А на обсяг відтворення слів є різним при різних градаціях фактора В і навпаки. Висновки прийнято на рівні значущості 0,05.
Аналогічні результати можна отримати за допомогою пакета MS Excel "Аналіз даних" розділ "Двофакторний дисперсійний аналіз с повтореннями". Для цього у діалоговому вікні рис. 6.10 необхідно ввести відповідні параметри і отримати результати (рис. 6.11).
Рис. 6.10. Діалогове вікно двофакторного дисперсійного аналізу для незв'язаних вибірок
Рис. 6.11. Підсумки двофакторного дисперсійного аналізу
Отже, фактори довжини слів і швидкості їхнього пред'явлення окремо не впливають значуще на обсяг відтворення слів. Значущою виявляється взаємодія факторів: короткі слова краще запам'ятовуються при великій швидкості пред'явлення, а довгі - при повільній швидкості пред'явлення.
Пропонуємо самостійно розібратися з отриманими результатами, розрахунковими формулами та коментарем на рис. 6.7 - 6.11.
Запитання. Завдання.
1. Охарактеризуйте основні можливості методів дисперсійного аналізу.
2. Охарактеризуйте обмеження дисперсійного однофакторного аналізу.
3. Назвіть основу, на якій побудовано математичний апарат однофакторного дисперсійного аналізу.
4. Назвіть основу, на якій побудовано математичний апарат двофакторного дисперсійного аналізу.
5. Охарактеризуйте обмеження дисперсійного двофакторного аналізу.
6. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 6.1 - 6.2.
7. Виконайте лабораторні роботи № 23 і № 24.
Схожі статті
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Дисперсійний однофакторний аналіз
Основною метою дисперсійного аналізу, фундаментальна концепція якого була запропонована Фішером у 1920 р., є дослідження значущості відмінності між...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 6. ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ
Основною метою дисперсійного аналізу, фундаментальна концепція якого була запропонована Фішером у 1920 р., є дослідження значущості відмінності між...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Рівень статистичної значущості
Статистичний критерій - це вирішальне правило, що забезпечує математично обгрунтоване прийняття істинної і відхилення помилкової гіпотези. Статистичні...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Параметричні і непараметричні критерії
Статистичний критерій - це вирішальне правило, що забезпечує математично обгрунтоване прийняття істинної і відхилення помилкової гіпотези. Статистичні...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Критерій Стьюдента t
У дослідженнях з педагогіки чи психології часто виникає необхідність з'ясувати, чи розрізняються генеральні сукупності, з яких узято вибірки. Наприклад,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 5.4. ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗ ПРО ЧИСЕЛЬНІ ЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ
Гіпотези про чисельні значення параметрів зустрічаються тоді, коли необхідно переконатися, що параметри центральних тенденції або мінливості відповідають...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 5.3. ПЕРЕВІРКА ОДНОРІДНОСТІ ВИБІРОК
У дослідженнях з педагогіки чи психології часто виникає необхідність з'ясувати, чи розрізняються генеральні сукупності, з яких узято вибірки. Наприклад,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Критерії асиметрії та ексцесу
При використанні методів математичної статистики надзвичайно важливо знати закон розподілу властивості, що вивчається. По суті, вже сама досліджувана...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 5.2. ГІПОТЕЗИ ЩОДО НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ ОЗНАК
При використанні методів математичної статистики надзвичайно важливо знати закон розподілу властивості, що вивчається. По суті, вже сама досліджувана...
-
Критерій Бартлета вважається найпотужнішим для перевірки гіпотези щодо рівності дисперсій для ознак з нормальним розподілом. Він не є обмеженим попарними...
-
Для перевірки гіпотези щодо дисперсій двох сукупностей, які представлені залежними вибірками використовується критерій Стьюдента і, статистика якого має...
-
Для перевірки гіпотези щодо дисперсій двох сукупностей, які представлені залежними вибірками використовується критерій Стьюдента і, статистика якого має...
-
Процедури перевірки гіпотез про рівність середніх для двох незалежних (незв'язаних) вибірок на основі критерію Стьюдента І продемонстровано у розділі...
-
Процедури перевірки гіпотез про рівність середніх для двох незалежних (незв'язаних) вибірок на основі критерію Стьюдента І продемонстровано у розділі...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Значущість дисперсії (критерій х2)
Критерій Стьюдента t використовується для перевірки гіпотез про чисельне значення середнього параметра з нормальним законом розподілу, коли дисперсія...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Значущість середнього (критерій t, дисперсія невідома)
Критерій Стьюдента t використовується для перевірки гіпотез про чисельне значення середнього параметра з нормальним законом розподілу, коли дисперсія...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Значущість середнього (критерій Z, дисперсія відома)
Гіпотези про чисельні значення параметрів зустрічаються тоді, коли необхідно переконатися, що параметри центральних тенденції або мінливості відповідають...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Статистичні критерії
Статистичний критерій - це вирішальне правило, що забезпечує математично обгрунтоване прийняття істинної і відхилення помилкової гіпотези. Статистичні...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Основні завдання та методи математичної статистики
Основні завдання та методи математичної статистики Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Ймовірність подій
Випадкову подію можна передбачити лише з деякою ймовірністю. Ймовірність події - це чисельна міра об'єктивної можливості цієї події (інтуїтивне означення...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 1. ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Основні завдання та методи математичної статистики Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Елементи комбінаторики
Формула повної ймовірності дає можливість розрахувати ймовірність Р(А) події А, якщо вона залежить від системи подій-гіпотез Н1,Н2,...,НП, за умовними...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Теорема Чебишева
Теорема Бернуллі стверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а Р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Точкове оцінювання. Властивості статистичних оцінок
Точкове оцінювання Застосовують для приблизної оцінки Параметрів генеральної сукупності за статистиками вибірки. Спостережені вибіркові показники є...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Розподіли "хі-квадрат", Стьюдента і Фішера
При побудові статистичних моделей нормальному законові безумовно належить центральне місце. Проте намагання використовувати його для моделювання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Критерій Крамера-Велча T
Критерій Крамера-Велча Т побудований на підході оцінювання рівності математичних очікувань генеральних сукупностей, звідки взято вибірки. Статистика...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Критерій Лемана-Розенблатта w2 n, m
Непараметричний критерій Лемана-Розенблатта типу омега-квадрат застосовується для перевірки однорідності двох незалежних вибірок. Як і за методом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Критерій Колмогорова-Смірнова λ
Критерій Крамера-Велча Т побудований на підході оцінювання рівності математичних очікувань генеральних сукупностей, звідки взято вибірки. Статистика...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Нормальний розподіл
Роботи Я. Бернуллі, а також приватні дослідження інших математиків XVII-XVIII ст. з Європи згодом оформилися в теорію ймовірності. У початковий період...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Теорема Бернуллі
Теорема Бернуллі стверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а Р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань,...
Математична статистика - Руденко В. М. - Дисперсійний двофакторний аналіз