Страхування - Базилевич В. Д. - Експоненціальна апроксимація

Фактично явну формулу для ймовірності банкрутства Ц/(и) В класичній моделі ризику, що розглядалася у попередньому підрозділі, можна вказати лише для того випадку, коли виплати страхової компанії розподілені за експоненціальним законом. У цьому ж параграфі ми наводили формулу (27.13) для ймовірності банкрутства тоді, коли виплати є сталими величинами. Але ця ситуація досить рідко трапляється у практичній діяльності страхових компаній, до того ж формула (27.13) є досить складною для обчислень.

Тому останнім часом було докладено багато зусиль на пошуки наближених формул для обчислення функції у(и), що е ймовірністю банкрутства компанії при початковому капіталі и. Розглянемо ці формули.

Перш ніж переходити до їх розгляду, відзначимо дві леми, які будуть використані при обчисленнях.

Лема 27.2І. Якщо У - випадкова величина, яка має експо-неціальний розподіл з математичним сподіванням р, то

МУ = ц, МУ2=2ц2, МУ3=6ц3 (27.23)

І взагалі МУ" =!ц

Лема 27.32. Нехай

V")

Я,=сі-^УК (27.24)

*=1

Це прибуток страхової компанії на відрізку [0, І) У класичній моделі ризику. Тоді характеристична функція випадкової величини ()( дорівнює

Ме"9' = ехр{*(ігс + Х[Ме"У* -1])}. (27.26)

Апроксимація Беекмана-Боверса для (и)

Вперше цю апроксимацію запропонував голландський вчений Дж. Беек-ман1.

Нехай

Н(и) = Р{гаіЯІ <-u:infQ, <0}. (27.26)

Тоді

Н(и) = і^^)=1_(1+Є)ч;(и), (27.27)

1-ф(0)

Звідки

У(и)=-±~а - Щи)). (27.28)

1 + 0

Нехай |лН та о*Н - математичне сподівання і дисперсія, що відповідають розподілу Н(и). Ідея побудови апроксимаційної формули полягає в заміні Н(и) у (22.32) гамма-розподілом ОДі), перші два моменти якого збігаються з моментами Н(и).

Тоді наближена формула для (и) Матиме вигляд

4>Вв(")=-а-С(и)) = - і - [РІ^-Р*<ід;= (27.29)

1 "г*1"1 -*. =- - е ах,

1 + ЄЛ{Г(у)

" _^цЄ_ 1+Є

Иг+Ш^/^-и^1 У І + а^Рз/Зи^-Щ'

Позначимо к-п момент функції розподілу Дг) виплат УА через рА, тобто

И^ЛГУ,*, Й = 1,2,3. (27.30)

За допомогою перетворення Лапласа - Стілтьєса функції ■Р(г) можна визначити величини иН та оЯ через моменти функції Р(г) Я 2Єц. [Зи2 20^ ]

Алгоритм застосування апроксимаційної формули (27.29) такий':

1) знаходимо перші три моменти ц,,ц2,ц8 функції розподілу Щг) (функції розподілу виплат УК );

2) значення ймовірності банкрутства (їх) обчислюємо за формулою (ЗО), користуючись таблицями гамма-розподілу С?(и), у якого математичне сподівання дорівнює цН, а дисперсія О2Н.

Якщо виплати страхової компанії мають експонеціальний розподіл, використовуючи лему 27.2 неважко встановити, що наближена формула (27.29) в цьому випадку є точною.

Апроксимація де Вільдера

Наступна наближена оцінка є однією з найвідоміших та найполулярніших у сучасній акту-арній математиці. Вперше її запропонував бельгійський учений Філіпп де Вільдер2.

Ідея цієї оцінки така: ми апроксимуємо процес (){ у загальній класичній моделі ризику процесом (?(*)" У якого виплати мають експонеціальний розподіл так, щоб

М£* = М£*(г) при К - 1, 2, 3.

За ймовірність банкрутства (и) Приймаємо ймовірність банкрутства ВуІи) в процесі <3(г), для якого ми знаємо точну формулу.

Процес ф(г) визначається трьома параметрами (X, С, Д) або (X, 9, Д). Використовуючи лему 27.3 та властивості семи інваріант8, можна встановити такі рівності:

Д=І^Є, Є = ^з. ВД = -?4х. (27.33)

Зц2 Зц2 2иГ

Отже,

1 -

Ч'(и) = Ч>лн(") =-^е *|+в". (27.34)

1+9

За самою побудовою апроксимації у випадку експонеціаль-ного розподілу виплат у(и) = \?ВУ(и)1.

Дифузійна апроксимація для процесів ризику

Наступна апроксимація досить давно відома в загальній теорії випадкових процесів. її вивів Г. Хедвігер2. Показано також, що її можна застосовувати для процесу ризику страхової компанії.

Нехай И - простір функцій на [0,), які неперервні справа і для яких, що існує границя зліва (простір функцій без розривів другого роду).

Означення. Послідовність ХП збігається за розподілом до випадкового процесу X (будемо записувати це так: ХЯ -^->Х), якщо для будь-якої обмеженої і неперервної функції І На х0

ЕПХА)-*ЕПХ). (27.35)

Використовуючи поняття збіжності за розподілом3, можна встановити таку дифузійну апроксимацію для (и)

Ми)~уВ(и)е*^. (27.Щ

Порівняємо цю апроксимацію з апроксимацією Крамера - Лундберга. Константа Крамера - Лундберга - це корінь рівняння

А. 0

Тому

- > | 1 + Яг+- ^(г)-1 = Дц+±Д2(а2+ц2).

^ оі 2 / 2

Звідси

^2£^ = _2Є^ (27>37)

Ц +а2 ц +0^

З цієї нерівності випливає, що

Ч//)(и)^в"Яи.

Експоненціальна апроксимація

Позначимо через р| моменти функції Р(у) Розподілу виплат У4 так, що

Ц(=Мц', ¿ = 1,2,3.....

Тоді має місце експоненціальна апроксимація, запропонована Ф. де Вільдером1:

■ (27.38)

Апроксимація Лундберга

Використавши оцінку Ове Лундберга2, можна отримати таку апроксимацію ймовірності банкрутства:

І, V ^1/ ^2 ,/

Тут індекс Ь означає "Лундберг", хоча потрібно зазначити, що Лундберг ніколи не пропонував цієї апроксимації, а лише на початку 60-х років XX ст. запропонував оцінку для збіжних послідовностей у теорії випадкових процесів.

Апроксимація Peni. Використовуючи теорему А. Рені1, можна отримати апроксимацію Рені

2М|0и

Уя(и)=-^"МІ+в). (27.40)

В. Калашников у своїй праці2 показав, що

Sup І і|/Л (и)- Ці (и) |<; Для всіх 0 >0.

Таким чином, ми маємо оцінку зверху абсолютного відхилення апроксимації Рені від точного значення ймовірності банкрутства.

Схожі статті




Страхування - Базилевич В. Д. - Експоненціальна апроксимація

Предыдущая | Следующая