Страхування - Базилевич В. Д. - 25.4. Нетто-премії

Прямий довічний ануїтет передбачає щорічні виплати по 1 доти, доки застрахована особа жива. Виплати здійснюються в моменти часу 0, 1, К. Разову нетто-премію такого ануїтету можна обчислити за формулою

А*=ї>Рх. (25.24)

Нагадаємо, що о =- - коефіцієнт дисконтування (і -

Фактична річна відсоткова ставка), К РХ - ймовірність того, що людина віку х проживе принаймні К Років.

Нетто-премії ануїтету та відповідного страхування пов'язані формулою2

1 = <*а, + А" (25.25)

Й = 1 - и - річна фактична ставка дисконту.

Нетто-премія прямого довічного ануїтету, обмеженого терміном п років, становить1

Безпосередні довічні ануїтети передбачають виплати в моменти 1, 2, КУ і разова нетто-премія задається рівністю

АЖ=аЖ-1. (25.27)

Нетто-премія відкладеного на Т Років прямого довічного ануїтету зі щорічними виплатами по 1 становить2

НЙХ - ТРх^йх+т Або ж М АХ=аХ - аХ{Щ (25.28)

У випадку, коли страхові виплати величиною - здійсню-

Т

Ються т разів на рік, тобто в моменти часу 0, -, -, доти,

Т т

Доки застрахований початкового віку Х Живий, нетто-премія визначається за формулою3

АЖТ) =-гт-гтАіТ) (25.29)

Оі й4

Йї І- і(т)

Позначимо а(т) = , . , . та В(тп) = , , . .. Тоді нетто-пре-А*1 Ч ^"О^Оп)

Мію можна виразити формулою

А™ =а(т)аХ -(Нлі). (25.30)

Приклад 25.4. Розглянемо чотирирічний тимчасовий ануїтет для людини віку х (щорічні виплати дорівнюють 1). Коефіцієнт дисконтування и = 0,9.

1

ІРх

0

0,9

1

0,8

2

0,65

3

0,5

Слід визначити нетто-премію прямого довічного ануїтету.

З

Скористаємось формулою (25.26): А ГЩ = £о* ,рХ. Для цього обчислимо для кожного року добуток и' І РХ Ї=0

І

О'

0

0,9

1

0,9

1

0,8

0,9

0,72

2

0,65

0,81

0,5265

3

0,5

0,729

0,3645

Тепер аЖ-| =0,9 + 0,72 + 0,5265 + 0,3645=2,511.

25.4. Нетто-премії

Для страхового поліса загальний збиток Ь Страхувальника визначається як різниця між поточною вартістю страхових виплат і поточною вартістю премій. Принцип еквівалентності полягає в тому, що математичне сподівання загального збитку М{Ь) = 0. Якщо премія відповідає принципу еквівалентності, вона називається нетто-премією (або чистою премією).

Функція корисності и(х) повинна задовольняти умови И'(х)> 0 та и*(х)<0 , тобто бути зростаючою та опуклою догори. Ця функція вимірює корисність грошової суми Х Для страхувальника.

Якщо задано функцію корисності, то розрахунок нетто-пре-мій базується на співвідношенні М(и(~Ь)) = и(О)1.

Розглянемо тепер довічне страхування зі страховою сумою 1, яка виплачується щорічними нетто-преміями. їх величини становитимуть2

РХ=-. (25.31)

У випадку тимчасового страхування на строк П Років (страхова сума 1 виплачується наприкінці року смерті) щорічна нетто-премія буде дорівнювати1

^ід=~- (26.32)

А щорічна нетто-премія чистого доживання дорівнює

Р^~- (25-зз)

А - і

Щорічну нетто-премію доживання можна визначити за формулами2: ^

'-а-т^"'-я-^я+^а - (25.34) а - і

Якщо щорічна нетто-премія сплачується Т Разів на рік однакові частинами, то її величина дорівнює8

^'=4^ (25.35)

Приклад 25.5. За умов прикладу 25.4 обчислити щорічну нетто-премію чистого доживання за третій та четвертий роки угоди, якщо 4 РХ =0,4.

Скористаємось формулою (25.33): Р= .

ЖіЛ а - і

ЖІЯІ

Щорічна нетто-премія за четвертий (останній) рік угоди буде дорівнювати Р ' =^?-=НІі&;. = (°'9>' °'4 =0,1045.

. Кї| "-а ".а 2,511

За третій рік угоди щорічна нетто-премія дорівнює

А я о3

І^.а =-- = И 3 . Чисельник цього дробу і)3 Арх =0,3645

Можна взяти з таблиці розв'язку прикладу 25,4 (останній рядок та стовпчик), а знаменник є сумою перших трьох елементів останнього стовпчика тієї ж таблиці: а =0,0 + 0,72 + 0,5265 = =2,1465.

Схожі статті




Страхування - Базилевич В. Д. - 25.4. Нетто-премії

Предыдущая | Следующая