Логіка - Дуцяк І.3. - 3.2. Найпростіші правила виведення
За алгоритмом, описаним у попередньому параграфі, можна побудувати всі можливі правила для кожного з логічних термінів. Ці правила (за спостереженнями автора) самостійно формулюють уже діти середнього шкільного віку, а мислять, несвідомо їх використовуючи, мабуть, уже діти дошкільного віку. Сформулюємо їх найдоступніше, тобто в такому вигляді, в якому вони стануть очевидними не тільки кожному дорослому, а й дитині. (У символьному вигляді правила наведені як відношення логічного випливання).
1. Правило для диз'юнкції
Якщо є принаймні один з двох об'єктів і якогось одного з них нема, то є інший об'єкт.
2. Правило для антикон'юнкції
Якщо нема принаймні одного з двох об'єктів і якийсь один з них є, то іншого об'єкта нема.
3. Правило для сильної диз'юнкції
Якщо є тільки один з двох об'єктів і якийсь із них є або нема, то, відповідно, іншого об'єкта нема або він є.
4. Правило для імплікації
Якщо є чи нема два об'єкти водночас або першого з них нема, а другий є, і є перший або нема другого об'єкта, то, відповідно, є другий або нема першого об'єкта.
5. Правило для реплікації
Якщо є чи нема два об'єкти водночас, або перший з них є, а другого нема, і першого нема, або другий є, то, відповідно, нема чи є інший.
6. Правило для еквіваленції
Якщо є чи нема два об'єкти водночас, і якийсь із них є або нема, то, відповідно, інший об'єкт також є або його нема.
Окрім цих правил, є ще інші. Наведемо деякі.
Правило транзитивності імплікації
Правило контрапозиції
3.3. Відношення логічного випливання та правила виведення
У процесі міркувань стосовно певних тверджень ми фіксуємо, що вони випливають з інших. Перш ніж дати визначення логічного випливання, введемо такі позначення: позначимо твердження довільної структури символами А, В,... (це змінні, значенням яких є прості або складні твердження).
Логічне випливання - це відношення між послідовністю тверджень А19 А2> ... А., які є частиною послідовності Ау9 А29... А., В та твердженням В, яке полягає в тому, що у всіх випадках, коли кожне з тверджень А,, А0,... А є істинним, твердження В також істинне. У такому випадку кажуть, що твердження В (висновок) випливає з тверджень А.9 Ао9 ...А. (засновки). Цей факт записують виразом
А1, А2, ... А. j = В.
Отже, символ 1= позначає не операцію над твердженнями, а відношення між ними.
У разі, коли між твердженнями наявне таке відношення і коли кожне з тверджень Аі9 А2, ... А. є фактично істинним, можна стверджувати істинність твердження В. В інших випадках, коли щонайменше один зі засновків хибний, висновок може бути як істинним, так і хибним. Оскільки висновок не може бути хибним у разі істинних засновків, то можна сказати, що істинність засновків є достатньою умовою для істинності висновку. Отже, якщо послідовність тверджень А., А99 ... А., В записати одним складним твердженням, то між засновками та висновком буде імплікація. Оскільки умовою істинності висновку є істинність кожного
З засновків, то під час запису засновків у формі складного твердження вони повинні бути з'єднані кон'юнкцією. У підсумку послідовність тверджень, у якій останнє випливає з попередніх, можна записати таким складним твердженням:
Останній вираз фіксує не послідовність тверджень, між останнім з яких та попередніми наявне відношення логічного випливання, а лише складне твердження, яке відповідає зазначеній послідовності тверджень. Однак встановлені таким способом логічні зв'язки, якими послідовність тверджень об'єднано в одне складне твердження, дають змогу відтворити відношення між значеннями істинності засновків та висновку.
З огляду на те, що, з одного боку, між висновком і засновками є зв'язок достатньої умови (імплікація), тобто все складне твердження хибне тільки в разі істинності антецедента (засновків) і хибності консеквента (висновку), а, з іншого, - за визначенням логічного випливання, консеквент (висновок) не може бути хибним у разі істинного антецедента (засновків), отримуємо таке: прості твердження, які є елементами засновків і висновку, повинні бути з'єднані такими зв'язками, за яких не існували б випадки, коли за істинних Аі9 А2> ...А. було б хибним В. Іншими словами, вираз
Повинен бути законом.
Це дає змогу перевірити, чи справді між певною послідовністю тверджень і твердженням, яке пропонують як таке, що випливає з цієї послідовності, наявне відношення випливання. Для цього послідовність тверджень, наприклад, А, А9У В, треба записати у формі складного твердження
І з'ясувати, чи є цей вираз законом. Якщо це так, то можна бути переконаним, що твердження В випливає з тверджень ¿1" л2.
Проаналізуємо такий приклад: нехай маємо послідовність тверджень (р -" д)9 р9 д. Чи твердження д випливає з тверджень (р -> д), р, тобто чи істинним є складне твердження, що відповідає виразу
Запишемо наведену послідовність тверджень у формі відповідного складного твердження
І з'ясуємо табличним методом, чи є отримане складне твердження законом:
Як бачимо з таблиці істинності, в усіх випадках, коли обидва засновки є одночасно істинними (такий випадок у цьому прикладі тільки один), твердження д також істинне. Оскільки випадків, коли антецедент істинний, а консеквент (висновок) хибний, немає, то це складне твердження є законом. У підсумку можна зробити висновок, що у послідовності висловів (р -> д), р, д твердження д випливає з тверджень (р -> д), р.
Подібно виконують аналіз, коли висновок про випливання певного твердження зроблено з одного засновку. Нехай маємо послідовність тверджень (р л д), р. Чи випливає р з (р л д)?
Побудуємо таблицю істинності відповідного складного твердження (р л д) -> р:
Як і в попередньому випадку, можна стверджувати, що твердження р випливає з твердження (р л q).
Відношення логічного випливання зумовлює можливість виведення знань. На підставі цього відношення можна сформулювати правила, згідно з якими замість одного твердження можна записати інше, так що нове твердження завжди буде істинним у разі істинності того твердження, з якого воно випливає. Усі послідовності тверджень, у яких між останнім і попередніми наявне відношення логічного випливання, можна записати як правила виведення, відповідно до яких можна виконувати перетворення тверджень, тобто виведення нових тверджень.
Для запису правил виведення в поданих вище виразах замість пропозиційних змінних запишемо символи Л, В, які позначають довільні твердження (прості або складні); крім того, нове твердження, тобто висновок, запишемо під засновками, розділивши їх лінією. У такому разі з виразу (р -> g), р t= д отримаємо правило виведення, яке називають модус поненс (modus ponens):
ОЗНАЧЕННЯ
Аксіоматична система - система, в якій висновки отримують із завжди істинних тверджень, унаслідок чого висновки будуть з необхідністю істини.
Антитеза - твердження, яке суперечить тезі.
Виведення - дія (послідовність дій), у результаті виконання якої з одних знань за певними правилами отримують інші знання.
Вивід - сукупність засновків і висновків.
Вивідність - відношення певного твердження до множини інших тверджень, яке полягає в тому, що воно може бути отримане зі згаданої множини тверджень у результаті застосування правил виведення.
Висновок - те нове знання, яке отримують унаслідок виведення.
Дедукція - виведення, в результаті якого у висновку отримують знання, які в неявному вигляді містилися в засновках.
Демонстрація - дії, якими обгрунтовують істинність певних тверджень.
Доведення - обгрунтування істинності певного попередньо заданого твердження (тези) логічними діями.
Засновки - твердження, на підставі яких отримують нове знання.
Логічне випливання - відношення певного твердження до множини інших тверджень, яке полягає в тому, що це твердження є необхідно істинним, якщо істинним є кожне твердження зі згаданої множини тверджень.
Натуральне виведення - отримання висновків з припущень, унаслідок чого істинність висновків залежить від істинності засновків.
Непряме доведення - обгрунтування істинності певного попередньо заданого твердження (тези) шляхом отримання у висновку суперечливого до тези твердження як хибного (логічне обгрунтування хибності антитези).
Правило виведення - зафіксована знаками можливість заміни одних виразів іншими зі збереженням певних ознак цих виразів (зокрема, значення істинності).
Правильний вивід - вивід, виконаний відповідно до правил.
Пряме доведення - обгрунтування істинності певного попередньо заданого твердження (тези) шляхом отримання її як висновку з підібраних аргументів.
Спростування - обгрунтування хибності певного попередньо заданого твердження (тези) логічними діями.
Теза - попередньо задане твердження, істинність якого обгрунтовують.
Схожі статті
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 3.1. Виведення знань та його види. Алгоритм виявлення правил виведення
3.1. Виведення знань та його види. Алгоритм виявлення правил виведення Отримання одних знань з інших поділяють на два види - виведення і доведення....
-
Логіка - Дуцяк І.3. - ЛЕКЦІЯ 3. Виведення знань
3.1. Виведення знань та його види. Алгоритм виявлення правил виведення Отримання одних знань з інших поділяють на два види - виведення і доведення....
-
1. Записуємо засновки у символьному вигляді. 2. Кожен зі засновків фіксуємо як фактично істинний. 3. Будуємо таблицю істинності того з засновків, який...
-
1. Записуємо засновки у символьному вигляді. 2. Кожен зі засновків фіксуємо як фактично істинний. 3. Будуємо таблицю істинності того з засновків, який...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Тема 1. Логічний аналіз складних тверджень
Тема 1. Логічний аналіз складних тверджень ЛЕКЦІЯ 1. Логічні терміни в складних твердженнях 1.1. Прості та складні твердження Для того щоб з'ясувати, що...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 1.2. Зміст логічних термінів
Тема 1. Логічний аналіз складних тверджень ЛЕКЦІЯ 1. Логічні терміни в складних твердженнях 1.1. Прості та складні твердження Для того щоб з'ясувати, що...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 1.1. Прості та складні твердження
Тема 1. Логічний аналіз складних тверджень ЛЕКЦІЯ 1. Логічні терміни в складних твердженнях 1.1. Прості та складні твердження Для того щоб з'ясувати, що...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - ЛЕКЦІЯ 1. Логічні терміни в складних твердженнях
Тема 1. Логічний аналіз складних тверджень ЛЕКЦІЯ 1. Логічні терміни в складних твердженнях 1.1. Прості та складні твердження Для того щоб з'ясувати, що...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 2.4. Закони логіки
Інструменти. Алгоритм виявлення суперечності у послідовності пов'язаних тверджень Для виявлення, чи є аналізоване складне твердження суперечливим, треба...
-
Інструменти. Алгоритм виявлення суперечності у послідовності пов'язаних тверджень Для виявлення, чи є аналізоване складне твердження суперечливим, треба...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 2.3. Суперечливі складні твердження
Інструменти. Алгоритм виявлення суперечності у послідовності пов'язаних тверджень Для виявлення, чи є аналізоване складне твердження суперечливим, треба...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Розділ 1. Логічний аналіз тверджень
Тема 1. Логічний аналіз складних тверджень ЛЕКЦІЯ 1. Логічні терміни в складних твердженнях 1.1. Прості та складні твердження Для того щоб з'ясувати, що...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Розвиток логіки
Як завершену теоретичну систему, як науку логіку сформував давньогрецький філософ Арістотель. Що таке теоретична система у логіці? Яку теоретичну систему...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 2.1. Види несумісності знань
2.1. Види несумісності знань Є різні види несумісності висловів. Один із видів несумісності - несумісність тверджень (логічна хибність тверджень), тобто...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - ЛЕКЦІЯ 2. Виявлення несумісності знань
2.1. Види несумісності знань Є різні види несумісності висловів. Один із видів несумісності - несумісність тверджень (логічна хибність тверджень), тобто...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Предмет і статус логіки
Від часу появи логіки її предметом уважали форми і закони мислення. Таке розуміння предмета логіки виявилося вже в етимології назви: головними значеннями...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Роль та значення логіки у підготовці фахівця
Роль та значення логіки у підготовці фахівця Для з'ясування ролі та значення логіки у підготовці фахівця треба, насамперед, сформулювати найзагальніші...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - 2.2. Суперечність між твердженнями тексту
Нижче описано метод виявлення логічно хибних тверджень у послідовності пов'язаних тверджень, тобто таких, які містять однакові прості...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Місце логіки серед інших дисциплін
Роль та значення логіки у підготовці фахівця Для з'ясування ролі та значення логіки у підготовці фахівця треба, насамперед, сформулювати найзагальніші...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Формалізація - метод логіки
У традиційній логіці вважали, що існують певні закони та правила мислення, які властиві людині від народження, вони певним чином закладені в людському...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - ПЕРЕДМОВА
Роль та значення логіки у підготовці фахівця Для з'ясування ролі та значення логіки у підготовці фахівця треба, насамперед, сформулювати найзагальніші...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Історія логіки
Історія логіки Від формування логіки як науки поширене визначення, що її предметом є форми та закони мислення. Водночас таке визначення предмета логіки...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Виникнення логіки
Історія логіки Від формування логіки як науки поширене визначення, що її предметом є форми та закони мислення. Водночас таке визначення предмета логіки...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Вступ. Загальні знання про логіку
Історія логіки Від формування логіки як науки поширене визначення, що її предметом є форми та закони мислення. Водночас таке визначення предмета логіки...
-
Логіка - Дуцяк І.3. - Головні завдання, що стоять перед студентом у процесі вивчення логіки
Коли батьки навчають дитину розмовляти, то насправді йдеться не тільки про вивчення мови. Перед ними стоїть ширше завдання - навчити дитину мовити,...
-
Аудит - Немченко В. В. - 2.3.3.7. Стандарт "Правила складання звітів"
Визначити одне правило оформлення звітів за результатами аудитів для всіх без винятку ситуацій видається неможливим. Це правило може мати на меті лише...
-
Логіка - Конверський А. Є. - 2. Формальні та змістовні правила міркування
Наведені приклади яскраво свідчать про те, наскільки важливо знати правила та закони мислення і вміти їх застосовувати у практиці міркувань. Отже,...
-
Ділове мовлення для державних службовців - Шевчук С. В. - ПРАВИЛА ДЛЯ ВІДВІДУВАЧІВ
Сфери міжіндивідуальних стосунків, спілкування, комунікації належать до фундаментальних вимірів людського світу. Особливої гостроти ці проблеми набувають...
-
Сфери міжіндивідуальних стосунків, спілкування, комунікації належать до фундаментальних вимірів людського світу. Особливої гостроти ці проблеми набувають...
-
Логіка - Жеребкін В. Є. - 3.5. Правила поділу
Коли ми маємо справу з поняттями, то нас цікавить не тільки їхній зміст, а й обсяг. Наприклад, вивчаючи державу, ми цікавимось не лише тим, що таке...
Логіка - Дуцяк І.3. - 3.2. Найпростіші правила виведення