Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 9.2. Парна (проста) лінійна кореляція
Найпростішим видом кореляційного зв'язку є зв'язок між двома ознаками: результативною і факторною. Такий зв'язок називають парною кореляцією або Простою кореляцією.
В економічних дослідженнях взаємозв'язку двох факторів серед множини функцій часто розглядається прямолінійна форма зв'язку, яка виражається рівнянням прямої лінії
Де Ух - вирівняне значення результативної ознаки (залежна змінна); х - значення факторної ознаки (незалежна змінна); а - початок відліку, або значення Ух при Ь = 0 (економічного змісту не має); Ь - коефіцієнт регресії, який показує середню змінну залежної змінної при зміні незалежної змінної на одиницю (одне своє значення).
Коефіцієнти регресії є величинами іменованими і мають одиниці вимірювання, що відповідають змінним, між якими вони характеризують зв'язок.
Якщо Ь > 0, то зв'язок прямий, якщо Ь < 0, то зв'язок обернений, якщо Ь = 0, то зв'язок відсутній.
Параметри рівняння А і Ь визначають способом найменших квадратів. Він дає можливість знайти ту криву, яка порівняно з іншими кривими проходить найближче до точок кореляційного поля, що відображають фактичні дані, тобто дає найменшу суму квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки від вирівняних (теоретичних) значень:
Порядок одержання системи нормальних рівнянь при парній кореляції такий. Для одержання першого рівняння системи необхідно всі члени вихідного рівняння кореляційного зв'язку помножити на коефіцієнти при першому невідомому (а) і одержані добутки підсумувати. Потім для отримання другого рівняння необхідно всі члени вихідного рівняння помножити на коефіцієнт при другому невідомому (Ь) і також всі добутки підсумувати.
Техніка одержання системи нормальних рівнянь залишається аналогічною і для побудови системи рівнянь з більшим числом змінних. Так, для парного лінійного зв'язку система нормальних рівнянь має вигляд:
Параметри а і Ь рівняння прямої лінії можна визначити за іншими робочими формулами :
Рівняння кореляційного зв'язку мають як пізнавальне, так і практичне значення, їх використовують для обчислення теоретичної лінії регресії, очікуваних (теоретичних, вирівняних) і прогнозованих значень залежної змінної при тих або інших значеннях фактора (факторів). При цьому слід мати на увазі, що рівняння дає середнє співвідношення між результативною і факторною ознаками, тому найбільшу точність збігання мають розрахункові значення результативної ознаки при величині фактора, близького до середнього його рівня.
Ступінь наближення розрахункових значень результативної ознаки до її фактичного значення залежить від того, наскільки досконала кореляційна модель. Якщо вона включає всі основні фактори, що визначають варіацію результативної ознаки, то точність буде досить високою.
Розглянемо приклад аналізу кореляційного зв'язку між двома ознаками (парна кореляція): продуктивністю корів - надоєм молока на середньорічну корову (ц) і рівнем годівлі - витратами кормів на одну корову за рік (ц кормових одиниць; табл. 9.1).
Таблиця 9.1. Розрахунок даних для визначення показників кореляційного зв'язку
Результативною ознакою в даному прикладі є продуктивність корів (у), а факторною - рівень годівлі (х).
Для визначення форми зв'язку між продуктивністю корів і рівнем годівлі побудуємо графік - кореляційне поле (рис. 9.1.). На осі абсцис відкладемо значення факторної ознаки (незалежної змінної - рівня годівлі, а на осі ординат - результативної ознаки (залежної змінної - продуктивності корів).
Рис. 9.1. Кореляційне поле залежності надою на корову від витрат кормів
Графік показує, що в даному випадку зв'язок близький до прямолінійного і його можна виразити рівнянням прямої лінії
Розв'язання цього рівняння регресії покаже зміну продуктивності корів під впливом рівня годівлі при виключенні випадкових коливань ознаки.
Параметри рівняння прямої лінії А і Ь знайдемо із системи нормальних рівнянь:
Усі необхідні для розв'язання системи рівнянь дані розрахуємо в табл. 9.1. Одержані дані підставимо в систему рівнянь:
Поділимо рівняння на коефіцієнти при А, тобто перше рівняння на 10, а друге - на 413:
Віднімемо перше рівняння із другого:
0,4722 = 0,5806 Ь, звідси Ь = 0,4722 : 0,5806 = 0,813 ц на 1 ц кормових одиниць. Підставимо значення Ь = 0,813 в перше рівняння і знайдемо а:
Рівняння регресії (кореляційне рівняння), яке виражає зв'язок між продуктивністю корів і рівнем годівлі буде мати вигляд:
Коефіцієнт регресії Ь = 0,813 показує, що з підвищенням рівня годівлі на 1 ц кормових одиниць продуктивність корів в середньому по даній сукупності господарств зростає на 0,813 ц.
Параметри рівняння регресії можна визначити і за іншими формулами:
Перевіримо правильність розв'язання системи рівнянь, виходячи із рівності
За рівнянням регресії можна розрахувати очікувані (розрахункові або теоретичні) значення продуктивності корів (ух) при різних значеннях витрат кормів на корову (*). Для цього замість х підставимо його конкретні значення:
Усі обчислені дані запишемо в останню графу таблиці 9.1. За цими даними на рис. 9.1 побудуємо теоретичну лінію регресії.
Перевіримо правильність усіх розрахунків зіставивши суми фактичного і розрахункового надою молока на корову:
Схожі статті
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 9.1. Поняття про кореляційний аналіз
9.1. Поняття про кореляційний аналіз Вивчення реальної дійсності показує, що практично кожне суспільне явище знаходиться в тісному зв'язку і взаємодії з...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Розділ 9. Кореляційний аналіз
9.1. Поняття про кореляційний аналіз Вивчення реальної дійсності показує, що практично кожне суспільне явище знаходиться в тісному зв'язку і взаємодії з...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 4.1. Поняття про середні величини
4.1. Поняття про середні величини Статистична сукупність складається з множини одиниць, об'єктів або явищ однорідних в деякому відношенні і одночасно...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Розділ 4. Середні величини
4.1. Поняття про середні величини Статистична сукупність складається з множини одиниць, об'єктів або явищ однорідних в деякому відношенні і одночасно...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Відносні показники варіації
Найпростішим показником варіації є розмах варіації, який представляє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки. В інтервальних рядах...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Абсолютні показники варіації
Найпростішим показником варіації є розмах варіації, який представляє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки. В інтервальних рядах...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Розмах варіації
Найпростішим показником варіації є розмах варіації, який представляє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки. В інтервальних рядах...
-
В результаті перевірки статистичної гіпотези, що грунтується на даних вибірки обмеженого обсягу, можна відхилити і прийняти нульову гіпотезу (відповідно...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 6.4. Визначення необхідної чисельності вибірки
При організації вибіркового спостереження виникає питання про те, якою повинна бути чисельність вибіркової сукупності, при якій межі можливої помилки не...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 3.5. Ряди розподілу
Особливим видом групувань в статистиці є ряди розподілу, які є найпростішим способом упорядкування і узагальнення статистичних даних. Групування, в якому...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Середня арифметична
Залежно від характеру усереднюваної ознаки і наявної вихідної інформації в статистиці застосовуються різні види середніх величин, серед яких найбільше...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 4.2. Види середніх величин і способи їх обчислення
Залежно від характеру усереднюваної ознаки і наявної вихідної інформації в статистиці застосовуються різні види середніх величин, серед яких найбільше...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Розділ 5. Показники варіації
5.1. Поняття варіації ознак. Показники варіації При вивчені масових соціально-економічних явищ і процесів статистика зустрічається з різноманітною...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 4.4. Мода, медіана, квартілі і децилі
Крім перелічених вище середніх у статистичному аналізі як узагальнюючі характеристики сукупності використовують такі значення ознаки, які відрізняються...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 8.1. Теоретичні основи і принципова схема дисперсійного аналізу
8.1. Теоретичні основи і принципова схема дисперсійного аналізу Розглянуті вище прийоми перевірки статистичних гіпотез щодо істотності відмінностей між...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Розділ 8. Дисперсійний аналіз
8.1. Теоретичні основи і принципова схема дисперсійного аналізу Розглянуті вище прийоми перевірки статистичних гіпотез щодо істотності відмінностей між...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 7.4. Перевірка статистичних гіпотез щодо середніх величин
Серед найважливіших узагальнюючих характеристик, відносно яких найчастіше висуваються гіпотези, є середня величина. З метою перевірки гіпотези про...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Інші види середніх величин
Крім розглянутих вище видів середніх величин, статистикою розроблено і інші види. Середня хронологічна Являє собою середню величину з показників, що...
-
Оскільки всі елементи генеральної сукупності для обчислення шуканого параметра, як правило, використати неможливо, то про цей параметр намагаються судити...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Середня квадратична
Середню геометричну застосовують, коли загальний обсяг явища є не сума, а добуток значень ознаки. Ця середня використовується здебільшого для розрахунку...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 6.2. Помилки вибірки
Між показниками вибіркової сукупності і шуканими показниками (параметрами) генеральної сукупності, як правило, існують деякі розбіжності, які називають...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 5.4. Моменти статистичних розподілів
Розглянуті вище середні величини і показники варіації є частковими випадками єдиної системи узагальнюючих статистичних характеристик розподілу, що...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 5.3. Види дисперсій і правило їх додавання
Дисперсія володіє рядом математичних властивостей, які дають змогу спростити розрахунки. Розглянемо їх. 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: Ця...
-
Дисперсія володіє рядом математичних властивостей, які дають змогу спростити розрахунки. Розглянемо їх. 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: Ця...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Середня геометрична
Середню геометричну застосовують, коли загальний обсяг явища є не сума, а добуток значень ознаки. Ця середня використовується здебільшого для розрахунку...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - Середня гармонічна
Середня гармонічна є оберненою до середньої арифметичної, обчислену з обернених значень усереднюваної ознаки. Залежно від характеру наявного матеріалу її...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 5.1. Поняття варіації ознак. Показники варіації
5.1. Поняття варіації ознак. Показники варіації При вивчені масових соціально-економічних явищ і процесів статистика зустрічається з різноманітною...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 3.3. Методологія статистичних групувань
Статистичні групування здійснюють у кілька послідовних етапів: 1) теоретичний аналіз досліджуваного явища або процесу; 2) вибір групувальної ознаки...
-
Критерій Б дозволяє встановити наявність або відсутність істотних зв'язків між груповими середніми в цілому, однак він не показує, між якими середніми...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 8.2. Дисперсійний аналіз при групуванні даних за однією ознакою
Порядок проведення дисперсійного аналізу при групуванні даних за однією ознакою розглянемо на такому прикладі. В досліді вивчався вплив нових комбікормів...
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 9.2. Парна (проста) лінійна кореляція