Статистика - Опря А. Т. - 6.2.3. Розподіл Стьюдента
При розгляді питання середньої арифметичної у вибірках, які взяті з генеральної сукупності і підпорядковуються закону нормального розподілу, стає очевидним те, що цей розподіл залежить від середнього квадратичного відхилення (Ст2).
У практичних розрахунках значення генерального Ст2, як правило, невідоме, що призводить до певних розрахункових ускладнень. Ця обставина спонукала англійського статистика В. С. Госсета (він друкувався під псевдонімом Стьюдент) зайнятися пошуком такого розподілу середньої арифметичної, який не залежав би від параметра °.
Поставлена задача Стьюдентом була вирішена у 1908 р. (у цей час він був службовцем на пивоварному заводі у м. Дубліні).
Відкритий закон розподілу підняв на нову сходинку теорію статистичного оцінювання і теорію перевірки статистичних гіпотез. У чому ж виражається розподіл, досліджуваний Стьюдентом? Він
Х - X
-="
Встановив, що імовірність нормованого відхилення А (пізніше Р. Фішер створив більш строгий теоретичний
Фундамент: П~1 ) виражається рівнянням:
Р(г) = с (1+-?-) ~ ~2 2
П-1
Де P(X) - імовірність того, що стандартизована різниця між ~ і Х має величину "; С - деякий коефіцієнт, який залежить від обсягу вибірки. Величина його становить:
С. , ^
^(п -1) х Г(^)
(") F-) '
Де Г v2) і Г v 2 ) - гама - функції.
Повна формула закону розподілу нормованого відхилення має вигляд:
ІД) "2 і
Р(') =П-=-- х (1 + ^) 2
П (п -1) Г (^ ) П-1
Закону розподілу "-Стьюдента підпорядковуються малі вибірки, які одержані з нормального розподілу сукупностей. Характерною особливістю даного розподілу є те, що ймовірність значення X залежить від двох величин: обсягу вибірки (п) і нормованого відхилення (г) . Причому п береться числом ступенів вільності ( Уу=п-
1).
При збільшенні чисельності вибіркової сукупності розподіл Стьюдента наближається до нормального:
1
Р(І) =~і= е 2
Л/277
У спеціальній літературі є доведення, що при необмеженому зростанні обсягу вибірки розподіл Стьюдента прагне до нормального закону розподілу.
Якщо вибірка достотно мала (п < 15), розподіл імовірностей буде відрізнятися від нормального і тим більше, чим менший обсяг вибірки. Крива розподілу у таких випадках ніби розтягується (рис.15). Із збільшенням обсягу вибірки розподіл Стьюдента досить швидко наближається до нормального, зокрема, при п = 20 він практично не відрізняється від нього.
Рис. 17. Розподіл Стьюдента (I) на фоні нормальної кривої (2)
Із сказаного виходить, що розподіл Стьюдента являє собою частковий випадок нормального розподілу і відображає специфіку варіації для нечисленної вибірки, яка розподіляється за нормальним законом розподілу залежно від П.
Показники рівнів імовірності (Р(і)), що розподіляється за законом Стьюдента, дано в стандартній математичній таблиці "Імовірності г-розподілу по Стьюденту для малих вибірок (у межах ± ?)" (додаток2). У цій таблиці наведені рівні ймовірностей Р для кожного значення нормованого відхилення Г при визначеному обсязі вибірки, який береться "числом ступенів вільності". Тому положення про те, що кожному обсягу вибірки відповідає певне значення і, необхідно уточнити. Тут очевидна доцільність формулювання: кожному числу ступенів вільності відповідає і-розподіл. Розглянемо приклад.
Приклад. За результатами вибіркового обстеження 10 сімей підприємств харчової промисловості отримані середні рівні місячної заробітної плати, яка припадає на одного члена сім'ї, грн.: 100, 106, 85, 94, 88, 102, 120, 60, 95, 90.
Спираючись на дані вибірки, необхідно перевірити припущення, що середній розмір зарплати, який припадає на одного члена сім'ї працівників
Харчової промисловості (генеральна сукупність), дорівнюватиме 85 грн. (Х).
Грунтуючись на припущенні про нормальний характер розподілу досліджуваної ознаки в генеральній сукупності, виконуємо розрахунки:
Обчислюємо параметри Х = 94; °В =14,9.
Прийнявши Х = 85, визначаємо числове значення нормованого " = 1^1^ = 94-85^ = 1,91 відхилення А 14,9 .Знаходимо за стандартною таблицею
(додаток 2) імовірність для " = 1,9 і числа ступенів вільності и= 10 - I. Для таких параметрів розрахункове значення ймовірності Р = 0,955. Таким чином, для числового значення величини нормованого відхилення X = 1,91 імовірність Р = 0,955. Тобто, імовірність появи значення X, більшим, ніж одержане при вибірці, буде А = I - 0,955 = 0,045, або приблизно один випадок з 20. Імовірність появи ", яке по абсолютною величиною буде більше спостережуваного значення, становитиме 2а =0,090, тобто приблизно один випадок з 10. Таке значення X слід визнати неістотним. Тому різниця між вибірковою і генеральною середньою не буде перевищувати 9 грн. (94-85).
Якщо визнати вибіркове значення " істотним, а таке припущення можна висунути, оскільки спостережуване значення X мало імовірне, то початкове припущення, зумовлене обчисленням значення X, буде невірним. Подібне міркування приводить до висновку про те, що середній розмір зарплати у розрахунку на одного члена сім'ї працівників досліджуваної галузі 85 грн. є
Сумнівним, а різниця між генеральною (Х =85) и вибірковою (Х = 94) середньою легко могла перевищити 9 гривень.
Крім розглянутої вище стандартної таблиці, широке практичне застосування знаходить інша математична таблиця значень критерію X для різних рівнів значимості А= 1-Р. Вона дозволяє (при певному рівні А) встановити можливі границі випадкових коливань вибіркової середньої (Х), а також знайти довірчий інтервал, який покриває середню арифметичну у генеральній сукупності (додаток 1).
Розглянемо випадок використання стандартної таблиці "Критичні точки розподілу Стьюдента ("-розподіл)" на наступному прикладі.
Внаслідок вибіркового обстеження 20 сільськогосподарських підприємств обласного регіону визначено середній показник вихододнів з розрахунку на одного працюючого, який виявився рівним 250, з середньої помилкою вибірки Т = ±5. Потрібно визначити довірчий інтервал випадкових коливань шуканої середньої величини при рівні значимості А = 0,05.
У додатку I на перетині графи, яка відповідає А= 0,05, і рядку 20 - I =19 (число ступенів вільності) знаходимо значення І = 2,09. Отже, довірчий інтервал дорівнює ^ = ~ ± Гт = 250 ± 2,09 Х 5 = 250 ± 10,45, або закруглено 250 ± 10.
Таким чином, межі генеральної середньої дорівнюватимуть 240-260, тобто в сільгосппідприємствах обстежуваного обласного регіону середній рівень показника кількості вихододнів з розрахунку на одного працюючого буде знаходитися між 240 і 260. Дане ствердження одержане при порозі ймовірності Р =0,95. Рівень імовірності вибирається залежно від конкретних вимог вирішуваного завдання. В економічних дослідженнях використовують імовірність Р = 0,95 (0,954).
Висловлене раніше положення про те, що при збільшенні обсягу вибірки розподіл Стьюдента наближається до нормального підтверджує порівняння даних двох стандартних таблиць: "Критичні точки розподілу Стьюдента (г-розподіл)" (додаток 1) і "Функція нормованого відхилення" (додаток 5). Достатньо розглянути фрагмент з обох таблиць для кількох вибірок, щоб переконатися у сказаному вище висновку (табл. 46).
Таблиця 46
Витяг з стандартної таблиці ^розподілів (додаток 1)
П |
5 0>=4) |
20 (и=19) |
40 (и=39) |
60 (и=59) |
120 (и=119) |
00 |
^0,95 |
2,78 |
2,09 |
2,02 |
2,00 |
1,98 |
1,96 |
Так, у додатку 5 значенню рівня ймовірності 0,95 відповідає величина 1,96. Аналізуючи дані таблиці 46, бачимо, що при П= 60 розподіл Стьюдента майже не відрізняється від нормального:
2.00 - 1,96 = 0,04.
При невеликому обсязі вибірки ці два види розподілу мають значні чисельні відміни. Наприклад, для п =5 різниця у параметрах становитиме 2,78 - 1,96 = 0,82.
На завершення ще раз зробимо акцент на тому, що параметр
~ - х гА має розподіл Стьюдента за умови, якщо досліджувана випадкова величина підпорядкована закону нормального розподілу, а середня обчислюється за вибірковими даними незалежних спостережень.
Назвемо також аспекти застосування розподілу Стьюдента.
1) При оцінці параметрів генеральної сукупності за даними малих вибірок (для визначення довірчих інтервалів);
2) При перевірці статистичних гіпотез відносно параметрів генеральної сукупності.
Схожі статті
-
Статистика - Опря А. Т. - 6.2.2. Нормальний розподіл
Закон нормального розподілу, так званий Закон Гаусса, - один з найпоширеніших законів. Це фундаментальний закон у теорії ймовірностей і в її...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 6.1. Статистична оцінка параметрів розподілу
§ 6.1. Статистична оцінка параметрів розподілу Питання статистичної оцінки пов'язують в єдине ціле такі проблемні аспекти математичної статистики, як...
-
Статистика - Опря А. Т. - 6.2.1. Загальне поняття законів розподілу
6.2.1. Загальне поняття законів розподілу Закон розподілу характеризує випадкову величину з точки зору теорії ймовірностей. Розподіл імовірностей тісно...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 6.2. Закони розподілу вибіркових характеристик
6.2.1. Загальне поняття законів розподілу Закон розподілу характеризує випадкову величину з точки зору теорії ймовірностей. Розподіл імовірностей тісно...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.3. Середні величини як характеристики ряду
При зоровому сприйнятті показників рядів розподілу і їх графіків переконуємося, що розмір варіант має деякі загальні закономірності, які проявляються в...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 5.5. Характеристика асиметрії і ексцесу
При зміщенні вправо від центра асиметрія буде характеризуватися додатнім числом, при зміщенні вліво - від'ємним. Коефіцієнт асиметрії (А.) розраховується...
-
Статистика - Опря А. Т. - 5.3.1. Найважливіші математичні властивості дисперсії
Знаючи математичні властивості дисперсії, можна спростити вирахування її величини. Розглянемо їх. 1. Якщо із усіх значень варіант відняти постійне число...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 5.3. Варіація ознак. Показники варіації
Розміри ознак, які характеризують кількісні зміни тих чи інших явищ, зазнають коливань. Як відомо, у певних межах коливаються (варіюють) показники рівнів...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 5.4. Моменти статистичного розподілу
Варіаційний ряд розподілу може характеризуватися системою статистик, які мають загальний математичний вираз і носять назву Моментів розподілу. В цій...
-
Статистика - Опря А. Т. - 5.3.3. Дисперсія альтернативних ознак
Знаючи математичні властивості дисперсії, можна спростити вирахування її величини. Розглянемо їх. 1. Якщо із усіх значень варіант відняти постійне число...
-
Статистика - Опря А. Т. - 5.3.2. Загальна, міжгрупова і внутрішньогрупова дисперсія
Знаючи математичні властивості дисперсії, можна спростити вирахування її величини. Розглянемо їх. 1. Якщо із усіх значень варіант відняти постійне число...
-
В умовах широкого застосування методів сучасної математики в усіх галузях наукових досліджень, фундаментальних і прикладних, а також у вирішенні ряду...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 2.4. Організаційні форми, види і способи статистичного спостереження
У статистичній практиці застосовуються різні форми статистичних спостережень. Із погляду організації спостереження розрізняють дві його основні форми:...
-
Графічне зображення рядів розподілу (як і статистичних даних взагалі), крім досягнення наочності, переслідує й аналітичну мету. Графік дозволяє в...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 5.1. Поняття про статистичні ряди розподілу
§ 5.1. Поняття про статистичні ряди розподілу Маючи в розпорядженні дані статистичного спостереження, що характеризують те чи інше явище, перш за все...
-
§ 2.1. Поняття статистичного спостереження, основні вимоги щодо його здійснення Щоб одержати інформацію про стан і розвиток економіки країни чи інші...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.2. Статистичні сукупності
Вивчення статистичною наукою масових суспільних явищ означає, що статистичні показники завжди є наслідком узагальнення деякої сукупності фактів. Поняття...
-
Організаційний план статистичного спостереження - це складова частина загального плану спостереження, в якій викладено порядок його організації і...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 2.2. Програма статистичного спостереження
Програма статистичного спостереження являє собою перелік питань, на які треба одержати відповіді в процесі збирання статистичних зведень щодо кожної...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.4. Метод статистики
Статистична методологія являє собою сукупність прийомів, правил і методів дослідження. Під терміном "метод" розуміють спосіб теоретичного дослідження або...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.2. Відносні показники, їх види і форми
Досліджуючи економічні явища чи процеси, статистика не обмежується розрахунком тільки абсолютних показників, яку б велику роль вони не відігравали в...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.1. Абсолютні показники, їх значення
ТЕМА 4. УЗАГАЛЬНЮЮЧІ СТАТИСТИЧНІ ПОКАЗНИКИ § 4.1. Абсолютні показники, їх значення У системі узагальнюючих статистичних показників мають широке...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 3.3. Методологія статистичних групувань
Науковому статистичному групуванню передує теоретико-економічний аналіз досліджуваного явища. і разом з тим використання сучасних статистичних методів...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 3.2. Статистичне групування, його суть, завдання і види
Як відомо, масові суспільні явища або сукупності складаються з одиниць, які різняться між собою як якісно, так і кількісно. Ці різниці можуть бути...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 3.1. Зміст і завдання статистичного зведення
§ 3.1. Зміст і завдання статистичного зведення Статистичне спостереження, даючи об'ємний, але різноманітний матеріал про окремі явища досліджуваної...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 2.5. Помилки статистичного спостереження. Способи контролю інформації
Вірогідність статистичних даних - закон державної статистики. Забезпечується вона належним складанням програми і плану спостереження, науковою...
-
Статистика - Опря А. Т. - Вступ
Зрослі вимоги до статистики як фундаментальної навчальної дисципліни (поряд з математикою та інформатикою), а також нагальна потреба в підвищенні її...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.1. Загальне поняття статистики, її галузі
ТЕМА 1. МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ СТАТИСТИКИ § 1.1. Загальне поняття статистики, її галузі Термін "статистика" походить від латинського "status", що означає...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.4. Умови наукового застосування статистичних показників
Природа соціально-економічних явищ досить складна і специфічна. Пояснюється це тим, що розміри і кількісні їх взаємозв'язки зумовлюються значною...
-
Статистика - Опря А. Т. - 1.3.1. Предмет статистики як суспільної науки
1.3.1. Предмет статистики як суспільної науки Визначити предмет будь-якої науки - означає вирішити питання про її зміст і місце серед інших наук, а також...
Статистика - Опря А. Т. - 6.2.3. Розподіл Стьюдента