Статистика - Опря А. Т. - 5.3.1. Найважливіші математичні властивості дисперсії
Знаючи математичні властивості дисперсії, можна спростити вирахування її величини. Розглянемо їх.
1. Якщо із усіх значень варіант відняти постійне число А, то величина дисперсії не зміниться
СТ( *,-А) = ^ .
Таким чином, середній квадрат відхилень можна обчислити не за величинами варіант, а за відхиленням їх від якогось постійного
Гг2 = гг2
Числа, тобто ('o-Ау
2. Якщо значення варіант поділити на постійне число А, то величина дисперсії зменшиться в А2, а середнє квадратичне відхилення в А разів:
<у =ст2: А1.
(7)
Із цього випливає, що всі варіанти можна поділити на будь-яке постійне число, обчислити середнє квадратичне відхилення, а потім
А2 =оГ А2
Помножити його на це постійне число: ^А >
3. Якщо вирахувати середній квадрат відхилень від будь-якої величини (А), що відрізняється в тій чи інший мірі від середньої (Х), то величина його завжди буде більше середнього квадрата відхилень, обчисленого відносно середньої (оЛ 2).
Отримане перевищення дорівнює квадрату різниці між середньою і умовно узятою величиною, тобто 1 Х - А /2. Це все можна подати у такому запису:
А2А = а2 + (~х - А)2 Або а2А = а2 - (х - А)
Розглянута властивість середнього квадрата відхилень дозволяє зробити висновок про те, що дисперсія від середньої (Ст2 ) завжди
2
Менша за дисперсії, обчислені від будь-яких інших величин АД, тобто вона має властивість мінімальності.
4. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю ("^'^ ~0). Ця властивість випливає з того, що дисперсія є показником розсіювання варіант навколо середньої арифметичної, а середня арифметична постійної величини дорівнює цій величині.
Ряд властивостей дисперсії грунтується на рівності ° = Х ~(Х) , Тобто дисперсія дорівнює різниці між середньою арифметичною квадратів варіант і квадратом середньої арифметичної.
5.3.2. Загальна, міжгрупова і внутрішньогрупова дисперсія
Якщо всі значення ознаки статистичної сукупності (генеральної або вибіркової) розділити на декілька груп і розглядати кожну з них як самостійну (окрему) сукупність, то виникає необхідність обчислення трьох видів дисперсій: загальної, міжгрупової і внутрішньогрупової.
Загальна дисперсія - це середній квадрат відхилень значень ознак всієї сукупності відносно загальної середньої.
Міжгрупова Дисперсія - це середній квадрат відхилень групових середніх відносно загальної середньої.
Внутрішньогрупова дисперсія - це середня арифметична часткових (групових) дисперсій, зважена обсягами груп.
У таблиці 27 наведена структурні формули обчислення названих видів дисперсій.
Таблиця 27
Формули для обчислення дисперсій
Приклад. За даними врожайності зернових культур 57 підприємств визначити загальну, міжгрупову і внутрішньогрупову дисперсії, утворивши сім груп підприємств за рівнем урожайності.
Для обчислення загальної дисперсії необхідно побудувати дискретний ряд розподілу (табл. 28).
За розрахунковими даними цього статистичного ряду визначаємо
Середню арифметичну ( Х)і величину загальної дисперсії ( За'-):
- Іхпг 1535.5 " 2 І(хг - х)2Пі 1399.06 "",
Х = -- =-= 26.9; аШг =---- =-= 24.5.
І, пі 57 І, пі 57
Таблиця 28
Вихідні і розрахункові дані для обчислення загальної дисперсії __ (дискретний ряд)_
Варіанта, ХІ |
Частота пІ |
Розрахункові дані | |||
ХІ п |
ХІ - Х |
( ХІ - Х )2 |
( ХІ - х)2 щ | ||
17,5 |
1 |
17,5 |
-9,4 |
88,36 |
88,36 |
17,6 |
2 |
35,2 |
-9,3 |
86,49 |
172,98 |
36,2 |
3 |
108,6 |
9,3 |
86,49 |
259,47 |
37,6 |
2 |
75,2 |
10,7 |
114,49 |
228,98 |
Разом |
57 |
1535,3 |
X |
X |
1399,06 |
Для визначення міжгрупової дисперсії необхідно обчислити групові
Середні (ХІ) і знайти загальний об'єм їх варіювання відносно загальної середньої (І(хі - х)2 N). За розрахунковими даними таблиці 29 визначаємо розмір міжгрупової дисперсії:
Таблиця 29
Вихідні і розрахункові дані для обчислення міжгрупової дисперсії
Інтервал (група) |
Середня по групі, |
Обсяг груп, |
Розрахункові дані | ||
Х] - X |
(х, - х)2 |
(х, - х)2 | |||
17,5-20,5 |
18,9 |
9 |
-8,0 |
64,00 |
576,0 |
20,5-23,5 |
21,9 |
6 |
-6,0 |
25,0 |
150,0 |
23,5-26,5 |
25,4 |
9 |
-1,5 |
2,25 |
20,3 |
26,5-29,5 |
28,2 |
13 |
1,3 |
1,69 |
22,0 |
29,5-32,5 |
30,8 |
15 |
3,9 |
15,21 |
228,0 |
32,5-35,5 |
34,0 |
3 |
7,1 |
50,41 |
151,2 |
35,5-38,5 |
36,9 |
2 |
10,0 |
100,00 |
200,0 |
Разом |
X |
57 |
X |
X |
1347,5 |
Щоб визначити внутрішньогрупову дисперсію, необхідно розрахувати часткові дисперсії у розрізі семи груп. Маючи групові середні |Х] |, знаходимо
..... . у і., ..
По кожної групі відповідну часткову дисперсію і ' 1. За даними прикладу, який
(гг2 (Т2 (Т2 (Т2 )
Розглядається, необхідно обчислити сім таких дисперсій( 1, 11, 111 ГП). Необхідні проміжні дані для їх обчислення наведено в таблиці 30.
Таблиця 30
Вихідні і розрахункові дані для обчислення внутрішньогрупової дисперсії (розрахунок часткових дисперсій) ( ')
Інтервал (група) |
Варіанта, ХІ |
Частота, П, |
Розрахункові дані | ||||
~х. і |
( Х1 - X] )2 ПА | ||||||
17,5-20,5 |
17,5 |
1 |
17,5 |
-1.4 |
1,96 |
1,96 | |
( Хі = 18,9) |
17,6 |
2 |
35,2 |
-1.3 |
1,69 |
3,38 |
Б(х; - хі )2 П Nі |
Всього |
X |
9 |
170,0 |
X |
X |
9,05 |
9.051.0 = 9 |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
35.5-38,5 |
36,2 |
I |
36,2 |
-0.7 |
0,49 |
0,49 | |
(- 36.9) |
37,6 |
I |
37,6 |
0.7 |
0.49 |
0,40 |
І(х, - ХРШ )2 ПІ |
Всього |
X |
2 |
73,8 |
X |
X |
0,98 = |
= 098 = 0,49 2 |
Початку обчислень часткових дисперсій передує розрахунок групових
- _ Їх- _ 170
Середніх (ХІ). Так, для першого інтервалу 9 =18,9. Аналогічно
Розраховуємо середні для інших груп. Потім знаходимо окремі дисперсії °І, величини яких становлять: А І = 1,0; ^ = 0,43; АГл = 1,12; СіУ = 0.68; °У = 1.09; <уГі - 0,58; суП - 0,49 (послідовність розрахунку показано тільки для першого і сьомого інтервалів).
Маючи обчислені значення часткових дисперсій, знаходимо величину внутрішньогрупової дисперсії:
Ст2 = О) Х1 + О]1ПА + Ощіїщ +... + О2Ш ^т = ** N + N1 + ЖШ І.... + N,1,,
_ 1Х 9 + 0.43 Х 6 +1.12 Х 9 + 0.68 Х13 +1.09 Х15 + 0.58 Х 3 + 0.49 Х 2 _ 49.57 _ 0 87 ^ 0 9 9 + 6 + 9 +13 +15 + 3 + 2 ' 57 ~ . ~ .
Відповідно до правила складання дисперсій, яке випливає з доказу, що якщо сукупність складається з кількох груп, то загальна дисперсія дорівнює сумі внутрішньогрупової і міжгрупової дисперсій, маємо:
Ст2 =Ст2 +Ст2 = 23,6 + 0,9 = 24,5
Общ "ігр вгр ' ' '
За раніше наведеними розрахунками, величина загальної дисперсії За! дорівнює 24,5, що підтверджує вірність виконаних обчислень.
Теоретичний і практичний інтерес правила додавання дисперсій полягає у тому, що, знаючи дві величини дисперсії, на основі наведеної рівності завжди можна знайти третю. Наприклад:
222 сг = о - о
Вгр гаг жгр
Маючи величини міжгрупової і загальної дисперсій, можна мати уяву про силу впливу групувальної ознаки. Про це мова піде при вивченні питань кореляційного і дисперсійного методів аналізу.
5.3.3. Дисперсія альтернативних ознак
Перш ніж розглянути питання про дисперсію альтернативних ознак, слід нагадати, що під альтернативною ознакою розуміють таку ознаку, якою одні варіанти наділені, а другі - ні. Так, якщо у вибірці, яка складається з П одиниць і П" одиниць, наділених даною ознакою, то їх частка ¥ у вибірковій сукупності становитиме:
П"
№ = -.
П
Розрахунок загальної, міжгрупової і внутрішньогрупової дисперсій для альтернативних ознак поданий за формулами в таблиці 31.
Таблиця 31
_Формули обчислення дисперсій для альтернативних ознак_
Вид дисперсії |
Формула |
Примітка |
Загальна |
А1, = и(1- И) |
І - частка одиниць наділених даною ознакою |
Міжгрупова |
Сг2 -- |
І,- - частка одиниць, наділених даною ознакою в і - й групі |
П - число одиниць в і - й групі | ||
Внутрішньогрупова |
2 Т. и>І (1 - иІ1 )п Ъп1 |
^П - об'єм вибірки и, = и) |
Розглянемо послідовність розрахунку названих видів дисперсій на конкретному прикладі. У таблиці 32 представлена вибірка 60 підприємств, розподілених за виробничим типом на дві групи з обсягом П кожної і виділенням альтернативної ознаки - кількості збиткових підприємств ().
Підставляючи розрахункові дані таблиці 32 у формули відповідних видів дисперсій, одержимо:
АІ = №(1 - і) = 0,233/1 - 0,233 / = 0,179; А2 =І(і, -1)2 П, = 0,134 = 0,002;
МІ 60
2 (1 ~ 1,)П, 10,6
=--- -:- = 0,177.
^■Щ = 60
Таблиця 32
Вихідні і розрахункові дані для обчислення дисперсій
Число Розрахункові дані | ||||||||
Група |
Обсяг груп, П |
Одиниць у Групі, наділених Даною ознакою, п" |
П" И[ =- П |
И = (1 - И>1 ) |
И(1 - и)п |
И - и |
(И - И)2 |
И - и)2 п |
I |
40 |
8 |
0,200 |
0,16 |
6,4 |
-0,03 |
0,0009 |
0,036 |
П |
20 |
6 |
0,300 |
0,21 |
4,2 |
0,07 |
0,0049 |
0,098 |
Всього |
60 |
14 |
0,233 (14:60) |
X |
10,6 |
X |
X |
0,134 |
Грунтуючись на правилі додавання дисперсій, маємо:
^ = +°1 АБо 0,179 =0,002+0,177; 0,179= 0,179.
Середнє квадратичне відхилення альтернативної ознаки в
Даному випадку легко знайти шляхом добування кореня з Ст" ,
Тобто : ° = >/-№) = >/0^179 = 0.42.
Схожі статті
-
Статистика - Опря А. Т. - § 5.3. Варіація ознак. Показники варіації
Розміри ознак, які характеризують кількісні зміни тих чи інших явищ, зазнають коливань. Як відомо, у певних межах коливаються (варіюють) показники рівнів...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.3. Середні величини як характеристики ряду
При зоровому сприйнятті показників рядів розподілу і їх графіків переконуємося, що розмір варіант має деякі загальні закономірності, які проявляються в...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.2. Відносні показники, їх види і форми
Досліджуючи економічні явища чи процеси, статистика не обмежується розрахунком тільки абсолютних показників, яку б велику роль вони не відігравали в...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 5.1. Поняття про статистичні ряди розподілу
§ 5.1. Поняття про статистичні ряди розподілу Маючи в розпорядженні дані статистичного спостереження, що характеризують те чи інше явище, перш за все...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 3.3. Методологія статистичних групувань
Науковому статистичному групуванню передує теоретико-економічний аналіз досліджуваного явища. і разом з тим використання сучасних статистичних методів...
-
§ 2.1. Поняття статистичного спостереження, основні вимоги щодо його здійснення Щоб одержати інформацію про стан і розвиток економіки країни чи інші...
-
Графічне зображення рядів розподілу (як і статистичних даних взагалі), крім досягнення наочності, переслідує й аналітичну мету. Графік дозволяє в...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 2.5. Помилки статистичного спостереження. Способи контролю інформації
Вірогідність статистичних даних - закон державної статистики. Забезпечується вона належним складанням програми і плану спостереження, науковою...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 2.2. Програма статистичного спостереження
Програма статистичного спостереження являє собою перелік питань, на які треба одержати відповіді в процесі збирання статистичних зведень щодо кожної...
-
В умовах широкого застосування методів сучасної математики в усіх галузях наукових досліджень, фундаментальних і прикладних, а також у вирішенні ряду...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.1. Абсолютні показники, їх значення
ТЕМА 4. УЗАГАЛЬНЮЮЧІ СТАТИСТИЧНІ ПОКАЗНИКИ § 4.1. Абсолютні показники, їх значення У системі узагальнюючих статистичних показників мають широке...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.4. Метод статистики
Статистична методологія являє собою сукупність прийомів, правил і методів дослідження. Під терміном "метод" розуміють спосіб теоретичного дослідження або...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 2.4. Організаційні форми, види і способи статистичного спостереження
У статистичній практиці застосовуються різні форми статистичних спостережень. Із погляду організації спостереження розрізняють дві його основні форми:...
-
Організаційний план статистичного спостереження - це складова частина загального плану спостереження, в якій викладено порядок його організації і...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.3. Предмет статистки
1.3.1. Предмет статистики як суспільної науки Визначити предмет будь-якої науки - означає вирішити питання про її зміст і місце серед інших наук, а також...
-
Статистика - Опря А. Т. - 1.3.1. Предмет статистики як суспільної науки
1.3.1. Предмет статистики як суспільної науки Визначити предмет будь-якої науки - означає вирішити питання про її зміст і місце серед інших наук, а також...
-
Статистика - Опря А. Т. - Вступ
Зрослі вимоги до статистики як фундаментальної навчальної дисципліни (поряд з математикою та інформатикою), а також нагальна потреба в підвищенні її...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 3.2. Статистичне групування, його суть, завдання і види
Як відомо, масові суспільні явища або сукупності складаються з одиниць, які різняться між собою як якісно, так і кількісно. Ці різниці можуть бути...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 3.1. Зміст і завдання статистичного зведення
§ 3.1. Зміст і завдання статистичного зведення Статистичне спостереження, даючи об'ємний, але різноманітний матеріал про окремі явища досліджуваної...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.2. Статистичні сукупності
Вивчення статистичною наукою масових суспільних явищ означає, що статистичні показники завжди є наслідком узагальнення деякої сукупності фактів. Поняття...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 4.4. Умови наукового застосування статистичних показників
Природа соціально-економічних явищ досить складна і специфічна. Пояснюється це тим, що розміри і кількісні їх взаємозв'язки зумовлюються значною...
-
Статистика - Опря А. Т. - § 1.1. Загальне поняття статистики, її галузі
ТЕМА 1. МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ СТАТИСТИКИ § 1.1. Загальне поняття статистики, її галузі Термін "статистика" походить від латинського "status", що означає...
-
Статистика - Опря А. Т. - МОДУЛЬ 1
ТЕМА 1. МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ СТАТИСТИКИ § 1.1. Загальне поняття статистики, її галузі Термін "статистика" походить від латинського "status", що означає...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 3.3. Методологія статистичних групувань
Статистичні групування здійснюють у кілька послідовних етапів: 1) теоретичний аналіз досліджуваного явища або процесу; 2) вибір групувальної ознаки...
-
Упорядкування дослідних даних полягає в такому. 1. Одержані дослідні дані слід класифікувати і згрупувати за якісними ознаками. Наприклад, при перевірці...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 1.2. Основні поняття в статистиці
З поняттям про предмет статистики тісно пов'язані поняття статистичного показника, статистичної закономірності, статистичної сукупності, ознаки, варіації...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 3.1. Поняття про статистичне зведення
3.1. Поняття про статистичне зведення У результаті першої стадії статистичного дослідження - статистичного спостереження - отримують статистичну...
-
3.1. Поняття про статистичне зведення У результаті першої стадії статистичного дослідження - статистичного спостереження - отримують статистичну...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 3.7. Абсолютні показники
У процесі статистичного спостереження отримують дані про значення тих чи інших ознак, що характеризують кожну одиницю досліджуваної сукупності. Для...
-
Теорія статистики - Мармоза А. Т. - 3.6. Статистичні таблиці
Результати статистичного зведення і групування, як правило, оформляються у вигляді статистичних таблиць. Статистичні таблиці - це форма...
Статистика - Опря А. Т. - 5.3.1. Найважливіші математичні властивості дисперсії