Математична статистика - Руденко В. М. - Центральна гранична теорема
Розглянемо два варіанта центральної граничної теореми.
1. Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків - теорема Ліндеберга-Леві.
Для незалежних однаково розподілених випадкових величин X1, X2, X,, з математичними сподіваннями МРУ;] = Ц і дисперсіями D[X1] = А2 (і = 1, 2,
17 Визначена оцінка іноді є заниженою, наприклад, для нормального розподілу вона складає біля 0,997 (за так званим закон трьох сигм, див. розділ 3.4).
U = X1 + X2 + ...+XN -M[X 1-M[X2-...-M[XN N,/D[ X 1 + D[ X, + ... + D[ Xn '
З урахування виразів (3.46) і (3.47) випадкова величина UN виглядатиме як
UN = X1 + X2 + >+ XN ~N" . (3.48)
Cw N
Для величини UN математичне сподівання M[UN = 0, дисперсія D[UN = 1. Тоді при n-*" для будь-якого числа Х існує границя
Lim РІ X1 + X 2 + >+ XN ~ < x) = Ф( x), (3.49)
Де Ф(х) - функція стандартного нормального розподілу
X
Ф( x) = Cp(t)dt, (3.50)
Де <^(t) - щільність стандартного нормального розподілу
1 -
Cp(t) = -=e 2. (3.51)
V27t
N _
Якщо враховувати, що X1 + X2 +... + XN = ^XI = nX, то змінну UN мож-
¿=1
NX - nu X - Ці-
На записати як UN =-т=- =-Vn (3.52)
Cw N er
І границя (3.48) приймає більш знайому форма запису
( X - и Л
LimР -^л/П < X= N(0,1), (3.53)
V И )
Де N(0,1) - нормальний розподіл з нульовим математичним сподіванням і стандартним відхиленням, рівним одиниці.
У деяких задачах не завжди виконується умова існування однаково розподілених доданків. Сутність цих умов полягає в тому, що жодний з доданків не повинний бути домінуючим, внесок кожного доданка в середнє арифметичне має бути дуже малим у порівнянні з усією сумою.
2. Центральна гранична теорема для неоднаково розподілених доданків - теорема Ляпунова.
Для незалежних неоднаково розподілених випадкових величин Х1, Х2, ХП з математичними сподіваннями ЩХЦ = /г,- і дисперсіями £>[Хі] = а,2 Ф0 (і = 1, 2, п) випадкова величини ИП матиме вигляд
Пунова переходить у теорему Ліндеберга-Леві (3.49).
Сенс Центральної граничної теореми такий: якщо обсяг вибірки П є "достатньо великим", то незалежно від форми розподілу параметра /г генеральної сукупності Вибіркове середнє X має розподіл, близький до Нормального. Отже, оцінку генерального середнього /г за його вибірковим значенням X можна виконувати на основі нормального розподілу. Схема дослідження може бути такою:
O вибираємо випадковим методом п об'єктів х1, х2, хП з генеральної сукупності (для практичних цілей П повинно бути не менше 30, тобто п>30);
- 1 П
O розраховуємо вибіркове середнє X = -^XІ;
П,=1 '
O виконуємо статистичне оцінювання і формулюємо висновки на основі Нормального розподілу (див., наприклад, розділ 5.4).
Центральна гранична теорема - це клас теорем теорії ймовірностей, що затверджують, що сума великої кількості незалежних (або слабко залежних) випадкових величин має розподіл, близький до нормального.
Дуже важливо те, як діють ті причини, з яких складається сукупний результат вимірювань або спостережень: якщо діють аддитивно (тобто шляхом додавання), то величина X має приблизно нормальний розподіл; якщо Муль-типлікативно (тобто дії окремих причин перемножуються), то розподіл X є близьким не до нормального, а до так званого логарифмічно нормального, тобто не X, а має приблизно нормальний розподіл. Якщо ж немає підстав стверджувати, що діє один із цих двох механізмів формування підсумкового результату, то про розподіл випадкової величини x нічого певного сказати не можна.
Запитання. Завдання.
1. Які Ви знаєте прямі експериментальні підтвердження того, що частота здійснення деяких подій близька до ймовірності.
2. В чому є прояв дії так званого закону великих чисел?
3. Прокоментуйте результати дослідів Кетле.
4. Сформулюйте і поясніть теорему Бернуллі.
5. Сформулюйте і поясніть теорему Чебишева. Чим вона відрізняється від теореми Бернуллі?
6. Сформулюйте і поясніть центральну граничну теорему для однаково розподілених доданків (теорему Ліндеберга-Леві).
7. Сформулюйте і поясніть теорему Ляпунова.
8. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.16 - 3.18.
Схожі статті
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Розподіли випадкових величин
Розподіли випадкових величин Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Розподіли випадкових величин Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Математичне сподівання
Випадкову величину X можна повноцінно характеризувати функцією розподілу подій сс>і, (функція визначена на просторі елементарних подій £2). Функція...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Характеристики випадкових величин
Випадкову величину X можна повноцінно характеризувати функцією розподілу подій сс>і, (функція визначена на просторі елементарних подій £2). Функція...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Міри мінливості (ММ)
Обмеженість мір центральної тенденції для характеристики сукупностей можна продемонструвати на прикладі двох вибірок (рис. 2.29), які мають Різні...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Міри центральної тенденції (МЦТ)
Міри центральної тенденції (МЦТ) Мірами центральної тенденції (МЦТ) називають чисельні показники типових властивостей емпіричних даних. Ці показники...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Теорема Чебишева
Теорема Бернуллі стверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а Р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Теорема Бернуллі
Теорема Бернуллі стверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а Р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Дисперсія випадкової величини
Математичне сподівання показує, навколо якої чисельної міри групуються значення випадкової величини. Проте, необхідно також мати можливість вимірювати...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 2.2. ПОКАЗНИКИ ВИБІРКИ
Міри центральної тенденції (МЦТ) Мірами центральної тенденції (МЦТ) називають чисельні показники типових властивостей емпіричних даних. Ці показники...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Початкові та центральні моменти
Розрахунки показників МЦТ і ММ можна здійснити в MS Excel трьома способами з використанням: O математичних операцій за відповідних формул МЦТ і ММ; O...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Розрахунки та інтерпретація МЦТ і ММ
Розрахунки показників МЦТ і ММ можна здійснити в MS Excel трьома способами з використанням: O математичних операцій за відповідних формул МЦТ і ММ; O...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Згруповані розподіли
Розподіли згрупованих частот Використовуються у разі інтервальних або відносних типів вимірювань, якщо емпіричні дані приймають будь-які дійсні значення...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Квантилі
Квантилем Називається значення ранжированої змінної, що відокремлює від варіаційного ряду певну частку обсягу сукупності. Квантиль - загальне поняття. В...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Ранжировані розподіли
Атрибутивні розподіли Використовуються у разі Номінальних (категоріальних) типів вимірювань властивостей досліджуваних об'єктів. Приклад 2.5. Розрахувати...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Основні поняття і означення
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Повторні випробування
Повторні випробування Явища і процеси, що вивчає психологія, - це, як правило, складні події. Тому формування теоретичної бази опису таких подій зручно...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ
Повторні випробування Явища і процеси, що вивчає психологія, - це, як правило, складні події. Тому формування теоретичної бази опису таких подій зручно...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Ймовірність подій
Випадкову подію можна передбачити лише з деякою ймовірністю. Ймовірність події - це чисельна міра об'єктивної можливості цієї події (інтуїтивне означення...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3.1. ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Нормовані дані
Квантилем Називається значення ранжированої змінної, що відокремлює від варіаційного ряду певну частку обсягу сукупності. Квантиль - загальне поняття. В...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Атрибутивні розподіли
Атрибутивні розподіли Використовуються у разі Номінальних (категоріальних) типів вимірювань властивостей досліджуваних об'єктів. Приклад 2.5. Розрахувати...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Основні завдання та методи математичної статистики
Основні завдання та методи математичної статистики Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 2. СТАТИСТИЧНІ ПОКАЗНИКИ ВИБІРКИ
Статистичні показники, що розкривають властивості вибірки, можна представити такими основними групами: - Емпіричними розподілами (варіаційними,...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - 1. ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Основні завдання та методи математичної статистики Математична статистика - це сучасна галузь математичної науки, яка займається статистичним описом...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Лінійна кореляція
Завданням описової статистики є не лише систематизація емпіричних даних у вигляді розподілу частот та розрахунки типових показників МЦТ і варіацій ознак...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Нелінійна кореляція
Приклад 2.8. Оцінити зв'язок між віком (змінна X) і результатами допоміжного тесту "цифра-знак" шкали інтелекту дорослих Векслера (змінна Y)....
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Операції над подіями
Основні операції над подіями можна продемонструвати прикладами алгебри подій - алгебри Буля - у вигляді діаграм Венна (рис. 3.1). Рис. 3.1. Операції над...
-
Математична статистика - Руденко В. М. - Умовна ймовірність
Якщо подія А відбувається у випробувані, яке обмежене додатковими умовами здійснення події В, то міра можливості події А визначається Умовною ймовірністю...
Математична статистика - Руденко В. М. - Центральна гранична теорема