Математична статистика - Руденко В. М. - Центральна гранична теорема

Розглянемо два варіанта центральної граничної теореми.

1. Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків - теорема Ліндеберга-Леві.

Для незалежних однаково розподілених випадкових величин X1, X2, X,, з математичними сподіваннями МРУ;] = Ц і дисперсіями D[X1] = А2 (і = 1, 2,

17 Визначена оцінка іноді є заниженою, наприклад, для нормального розподілу вона складає біля 0,997 (за так званим закон трьох сигм, див. розділ 3.4).

U = X1 + X2 + ...+XN -M[X 1-M[X2-...-M[XN N,/D[ X 1 + D[ X, + ... + D[ Xn '

З урахування виразів (3.46) і (3.47) випадкова величина UN виглядатиме як

UN = X1 + X2 + >+ XN ~N" . (3.48)

Cw N

Для величини UN математичне сподівання M[UN = 0, дисперсія D[UN = 1. Тоді при n-*" для будь-якого числа Х існує границя

Lim РІ X1 + X 2 + >+ XN ~ < x) = Ф( x), (3.49)

Де Ф(х) - функція стандартного нормального розподілу

X

Ф( x) = Cp(t)dt, (3.50)

Де <^(t) - щільність стандартного нормального розподілу

1 -

Cp(t) = -=e 2. (3.51)

V27t

N _

Якщо враховувати, що X1 + X2 +... + XN = ^XI = nX, то змінну UN мож-

¿=1

NX - nu X - Ці-

На записати як UN =-т=- =-Vn (3.52)

Cw N er

І границя (3.48) приймає більш знайому форма запису

( X - и Л

LimР -^л/П < X= N(0,1), (3.53)

V И )

Де N(0,1) - нормальний розподіл з нульовим математичним сподіванням і стандартним відхиленням, рівним одиниці.

У деяких задачах не завжди виконується умова існування однаково розподілених доданків. Сутність цих умов полягає в тому, що жодний з доданків не повинний бути домінуючим, внесок кожного доданка в середнє арифметичне має бути дуже малим у порівнянні з усією сумою.

2. Центральна гранична теорема для неоднаково розподілених доданків - теорема Ляпунова.

Для незалежних неоднаково розподілених випадкових величин Х1, Х2, ХП з математичними сподіваннями ЩХЦ = /г,- і дисперсіями £>[Хі] = а,2 Ф0 (і = 1, 2, п) випадкова величини ИП матиме вигляд

Пунова переходить у теорему Ліндеберга-Леві (3.49).

Сенс Центральної граничної теореми такий: якщо обсяг вибірки П є "достатньо великим", то незалежно від форми розподілу параметра /г генеральної сукупності Вибіркове середнє X має розподіл, близький до Нормального. Отже, оцінку генерального середнього /г за його вибірковим значенням X можна виконувати на основі нормального розподілу. Схема дослідження може бути такою:

O вибираємо випадковим методом п об'єктів х1, х2, хП з генеральної сукупності (для практичних цілей П повинно бути не менше 30, тобто п>30);

- 1 П

O розраховуємо вибіркове середнє X = -^XІ;

П,=1 '

O виконуємо статистичне оцінювання і формулюємо висновки на основі Нормального розподілу (див., наприклад, розділ 5.4).

Центральна гранична теорема - це клас теорем теорії ймовірностей, що затверджують, що сума великої кількості незалежних (або слабко залежних) випадкових величин має розподіл, близький до нормального.

Дуже важливо те, як діють ті причини, з яких складається сукупний результат вимірювань або спостережень: якщо діють аддитивно (тобто шляхом додавання), то величина X має приблизно нормальний розподіл; якщо Муль-типлікативно (тобто дії окремих причин перемножуються), то розподіл X є близьким не до нормального, а до так званого логарифмічно нормального, тобто не X, а має приблизно нормальний розподіл. Якщо ж немає підстав стверджувати, що діє один із цих двох механізмів формування підсумкового результату, то про розподіл випадкової величини x нічого певного сказати не можна.

Запитання. Завдання.

1. Які Ви знаєте прямі експериментальні підтвердження того, що частота здійснення деяких подій близька до ймовірності.

2. В чому є прояв дії так званого закону великих чисел?

3. Прокоментуйте результати дослідів Кетле.

4. Сформулюйте і поясніть теорему Бернуллі.

5. Сформулюйте і поясніть теорему Чебишева. Чим вона відрізняється від теореми Бернуллі?

6. Сформулюйте і поясніть центральну граничну теорему для однаково розподілених доданків (теорему Ліндеберга-Леві).

7. Сформулюйте і поясніть теорему Ляпунова.

8. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.16 - 3.18.



Схожі статті




Математична статистика - Руденко В. М. - Центральна гранична теорема

Предыдущая | Следующая